Центральна гранична теорема

Ми розглянули теореми закону великих чисел, які встановлюють факт збіжності за ймовірністю послідовності деяких випадкових величин до сталих їх характеристик незалежно від їх закону розподілу. Група теорем, що стосуються граничних законів розподілу суми випадкових величин, об’єднані загальною назвою – центральна гранична теорема. Центральна гранична теорема встановлює умови, за яких указаний граничний закон є нормальним.

Наведемо одне з формулювань цієї теореми, доведеної О. М. Ляпуновим.

Центральна гранична теорема. Нехай – послідовність незалежних випадкових величин зі скінченними математичними сподіваннями і дисперсіями , .

Уведемо нові випадкові величини: , для яких , .

Тоді, якщо виконана умова , де , то для будь-якого числа виконується така гранична рівність:

. (4)

Рівність (4) означає, що закон розподілу нормованих відхилень суми за наближається до стандартного нормального закону розподілу. У цьому випадку кажуть, що має асимптотично-нормальний розподіл.

У подальших своїх дослідженнях О. М. Ляпунов довів справедливість граничного нормального розподілу за більш загальних умов: якщо існує таке число , для якого

,

то для будь-якого числа виконується гранична рівність (4).

Ця гранична рівність отримала назву умови Ляпунова.

На практиці центральна гранична теорема переважно використовується в тому разі, коли доданки мають однаковий розподіл. Наприклад, у математичній статистиці вибіркові випадкові величини мають однакові розподіли, оскільки ми їх отримуємо на базі однієї і тієї ж генеральної сукупності.

Наслідок із центральної граничної теореми. Нехай – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин зі скінченними математичними сподіваннями , дисперсією і

, , .

Тоді для будь-якого

. (4')

Приклад 3. Кожна з незалежних випадкових величин , розподілена рівномірно на проміжку . Написати наближено густину і функцію розподілу випадкової величини

Розв’язання. Кожна зі випадкових величин має густину розподілу:

Обчислимо чисельні характеристики:

Оскільки для послідовності X), Х2,..., ХП9... виконані умови нас­лідку з центральної граничної теореми, то на підставі рівності (2.44') робимо висновок, що розподіл нормованої випадкової

У - 4 5 величини 2100 = 1?° ' можна наближено замінити на розпо-

/0,0675

діл стандартної нормальної випадкової величини 2 є N (0, 1) або, що те ж саме, розподіл випадкової величини У1Оо можна наближено замінити на нормальний розподіл із параметрами М густини розподілу / (х) та функції розподілу Р (х) випадкової величини Уюо будуть такі:

Приклад 2.24. У касі деякої установи залишилася сума А = 3500 грн. У черзі за одержанням грошей стоять 20 осіб. Сума X, яку потрібно ви­платити окремій особі, — випадкова величина з математичним споді­ванням М (X) = 150 грн. і середнім квадратичним відхиленням <т(Х) = 60 грн. Знайти ймовірність того, що суми й не вистачить для виплати грошей усім особам, які стоять у черзі.

Розв'язання. На підставі центральної граничної теореми для однаково розподілених доданків Х2- при великому п (а п = 20 практично можна вважати великим), випадкова величина

де X} — сума, яку потрібно виплатити йй особі, має приблиз­но нормальний розподіл із параметрами:

МЮ = п-М(Х); ОД) = п-Д*); а(Уп) = Гп-а(Х);

або

Отже, з імовірністю, близькою до , наявної в касі суми грошей не вистачить для виплати всім бажаючим особам.

Дата добавления: 2014-01-07