Приклади розв’язку задач за допомогою сітки Вульфа

Сітки

Для кількісного розв’язку задач за допомогою стереографічної та гномостереографічної проекцій користуються градусними сітками. Найбільш поширеною є сітка Ю.В. Вульфа (Рис. 13). Сітка Вульфа – це стереографічна проекція системи меридіанів і паралельних кіл на площину одного з меридіанів. Отже, вона зображає таку картину, яку можна побачити на площині одного з меридіанів, якщо дивитись на сферичну поверхню з будь-якої точки екватора.

Рис. 13. Сітка Вульфа.

Уявімо собі, що спостерігач перебуває в одній з точок екватора сфери, на поверхню якої нанесено систему меридіанів і паралельних кіл. Нехай через точку спостереження проходить лінія меридіана, а на площину, яка перпендикулярна до цього меридіана, спостерігач проектує всі меридіани і паралелі. При цьому лінія екватора і лінія меридіана, що проходить через точку спостереження, спроектуються на площину у вигляді прямих, взаємно перпендикулярних ліній. Проекцію екваторіальної лінії будемо називати горизонтальним діаметром сітки, а проекцію меридіана – вертикальним діаметром. Кінці вертикального діаметра називають верхнім і нижнім полюсами сітки. Точку перетину горизонтального і вертикального діаметрів називають центром сітки. Проекції всіх інших меридіанів мають вигляд дуг, що проходять через обидва полюси сітки. Проекції меридіанів називають великими кругами, а проекції паралелей – малими кругами сітки.

Сітка Вульфа стандартно креслиться на крузі діаметром 0,2 метра, а лінії меридіанів і паралелей, що проектуються як дуги, проводять через 2°.

Положення будь-якої точки на сітці Вульфа визначається її координатами ρ та φ; полярні відстані ρ відкладаються від центра сітки вздовж одного із діаметрів. Величина ρ змінюється в межах 0°…180°. У центрі сітки ρ набуває значень 0° та 180°, тобто при віддаленні від центра до зовнішнього кола сітки полярна відстань зростає від 0° до 90° (верхня півсфера), а зворотний хід до центра відповідає зміні ρ від 90° до 180°.

Довгота φ змінюється від 0° до 360°. Початок відліку береться від нульового меридіана (правий кінець горизонтального діаметра) по колу проекцій за годинниковою стрілкою.

Для роботи з сіткою Вульфа необхідно мати лише прозорий папір (кальку) і олівець. Сітку розміщують так, щоб її екватор зайняв горизонтальне (зліва направо) положення. На сітку кладуть прозорий папір і на ньому помічають центр проекції. Біля правого кінця горизонтального діаметра наносять риску і записують біля неї «0», що означає нульову точку довготи φ. Цих двох міток цілком досить, щоб можна було завжди поставити рисунок у вихідне положення.

Задача 1.

Побудувати за даними координатами ρ та φ стереографічну проекцію точки. Для цього від нульової точки по основному кругу проекції відкладається за годинниковою стрілкою значення φ; точку відліку відмічають рискою. Після цього концентричним обертанням суміщають риску на кальці з кінцем одного із діаметрів (ближчого до риски) і від центра проекції відкладають полярну відстань ρ та наносять точку у вигляді кружка, а якщо 90 < ρ ≤ 180, то точку наносять у вигляді хрестика.

Задача 2.

Нанести на кальку довільну точку і визначити її сферичні координати. Ця задача відносно попередньої розв’язується у зворотньому порядку. Визначають спочатку ρ, приводячи концентричним обертанням дану точку на один з діаметрів сітки і відраховуючи від центра проекції до даної точки (якщо точка позначена хрестиком, то відлік ведуть від центра до головного круга проекції, а потім у зворотньому напряму до точки). Після визначення ρ наносять мітку на кінці діаметра сітки, вздовж якого здійснювався відлік. Приводять кальку у вихідне положення і визначають φ.

Задача 3.

Провести дуги великих кругів через задані дві точки. Розв’язок задачі зводиться до того, щоб вказані дві точки сумістити з лінією одного з меридіанів сітки і по цьому меридіану між точками провести дугу. Можливі два випадки побудови дуг великих кругів.

Точки мають однакові позначення (кружки або хрестики). Концентричним обертанням кальки виводять обидві точки на один меридіан. Якщо точки позначено кружками, то проводять суцільну лінію, а для точок-хрестиків – пунктирну.

Дві точки мають різні знаки (хрестик і кружок). У цьому випадку концентричним обертанням дані точки виводять на симетричні відносно вертикального діаметра меридіани. Вздовж дуги великого круга, на якій розміщено дві точки, від точки кружка до полюса проводять суцільну лінію, а від полюса до точки-хрестика – пунктирну лінію.

Задача 4.

Виміряти найменші кутові відстані між двома точками. Кутовою відстанню між двома точками називається кількість градусів, яка міститься в дузі великого круга, що проходить через дані точки. При цьому із двох дуг, які становлять в сумі повний великий круг, беруть меншу. Якщо обидві точки лежать на верхній (нижній) половині кулі, то концентричним обертанням кальки виводять ці точки на один меридіан сітки і по ньому відлічують число градусів між точками. Якщо точки лежать на різних половинах кулі, то концентричним обертанням кальки виводять обидві точки на симетричні меридіани сітки. Відлічують число градусів, що міститься між однією точкою і полюсом сітки, потім між другою точкою і полюсом сітки. Додавши значення обох відліків, одержують кутову відстань між двома точками.

Задача 5.

Побудувати точку, яка була б діаметрально протилежною до заданої точки. Концентричним обертанням кальки дану точку суміщають з одним із діаметрів сітки. Шукана точка знаходиться на тому ж діаметрі і на тій самі відстані від центра, але на другому боці від нього. Якщо дана точка лежить на верхній півкулі, то шукана діаметрально протилежна – на нижній півкулі і навпаки.

Задача 6.

Знайти полюс дуги великого круга. Полюсом дуги великого круга називається точка на поверхні кулі, яка віддалена від усіх точок дуги на 90°. Для знаходження полюса концентричним обертанням суміщають дану дугу з меридіаном сітки, від цієї дуги по горизонтальному діаметру в бік центра відлічують 90°. Точка відліку є полюсом.

Задача 7.

Знайти екватор до даного полюса. Екватором даної точки називається великий круг, всі точки якого віддалені від даної на 90°. Ця задача є оберненою до попередньої, тобто необхідно концентричним обертанням кальки вивести точку на екватор і від неї у бік центра сітки відрахувати 90°. Через точку відліку по відповідному меридіану сітки проводять шуканий екватор.

Задача 8.

Побудувати сферичний трикутник і виміряти кути між дугами великих кругів, що утворюють цей трикутник. Кут між дугами великих кругів вимірюється таким чином. Концентричним обертанням кальки точку перетину дуг виводять на екватор сітки. Через точку відліку проводять вздовж відповідного меридіана дуги. Кутова відстань вздовж цієї дуги між дугами, що перетинаються під шуканим кутом, і дасть величину кута.

Додаткові запитання:

1. Які координати точок, що лежать на основному колі проекцій центра проекції?
2. Скільки дуг великого кута можна провести через діаметрально протилежні точки?
3. В яке положення необхідно повернути рисунок, якщо треба провести дугу великого круга через точку, що лежить на основному крузі?
4. Один полюс великого круга знайдено з задачі 6. Як знайти другий полюс даного великого кута?
5. Покажіть, що знайдений полюс в задачі 6 дійсно віддалений на 90° від будь-якої точки даної дуги.
6. Як зобразиться екватор точки, якщо вона лежить на основному колі, в центрі проекції?
7. Як показати шляхом побудови, що точка перетину двох дуг великого круга – це полюс дуги, що проходить через обидва полюси даних дуг?
8. Як виміряти кут, якщо його вершина лежить на основному крузі проекції, в центрі проекції?
9. Як через дану точку даної дуги великого круга провести дугу великого круга під кутом α?

а. дана точка лежить на полі сітки;

б. дана точка лежить на основному крузі сітки;

в. дана точка лежить в центрі проекції.

1. Як знайти вісь кулі, при повороті якої дана точка сумістилася б з центром проекції? Як виміряти такий кут повороту?
2. Як знайти вісь, що лежить у площині рисунка, при повороті навколо якої дана точка сумістилася б з точкою 2?

Дата добавления: 2014-01-07