Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі

На практиці доводиться зустрічатись із задачами, які виникають у багаторазово повторюваних випробуваннях, в результаті кожного з яких може з'явитися або не з'явитися подія А. При цьому інтерес уявляє результат не кожного окремого випробування, а загальне число появ події А в результаті певної кількості випробувань. У подібних випадках потрібно вміти визначати ймовірність будь-якого числа m появ події А в результаті n випробувань.

Розглянемо випадок, коли випробування є незалежними й імовірність появи події А в кожному випробуванні однакова й дорівнює р,тоді Р() = 1 – р = q. Розглянемо приклад.

Монету підкидають 5 разів. Знайти ймовірність того, що герб з'явиться 3 рази.

Позначимо події:

А - поява герба в одному випробуванні,

В - герб з'явиться 3 рази в серії з п'яти випробувань.

За допомогою алгебраїчних дій подію В можна записати:

В = ААА+ ААА+ ААА + ААА + ААА + ААА +

+

У кожний добуток подія А входить 3 рази, а подія 5-3=2 разів, число додатків дорівнює . За формулами додавання й множення одержимо

Р(В) = Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) +

+ Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) + Р(ААА) =

= = , це і є формула Бернуллі.

Запишемо цю формулу в загальному виді. Нехай Р(n,m) – ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А наступить m раз. Тоді

Р(n,m) = .

Доведення формули Бернуллі аналогічне розв’язанню розглянутої вище задачі.

Приклад 9. Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайти ймовірність того, що серед шести, узятих навмання виробів:

1) буде два бракованих;

2) не буде бракованих;

3) буде хоча б один бракований.

Тут А – поява бракованого виробу, Р(А) = 0,05, Р() = 1- 0,05 = 0,95,

n=6. За формулою Бернуллі

1) при m = 2, Р(6,2) = = 0,03;

2) при m = 0, Р(6,0) = (0,95) 0,73;

3) у цьому випадку задачу можна розв’язати двома способами.

Перший спосіб. Використовуючи формулу додавання, одержимо

Р(6,1) + Р(6,2) = 0,27.

Другий спосіб. Перейдемо до протилежної події - серед обраних виробів немає бракованих. Ймовірність цієї події обчислена в п.2) і дорівнює 0,73. Тоді шукана ймовірність

Р(1 – 0,73 = 0,27.

Дата добавления: 2014-01-07