Функція розподілу

Функцією розподілу F(x), яка визначена для будь-якого дійсного x, називається ймовірність того, що випадкова величина x прийме значення менше x:

.

Властивості функції розподілу:

1. 0 F(x) 1

2. F(x) 0 при х - ¥

3. F(x) 1 при х + ¥

4. Ймовірність попадання випадкової величини в довільний напівінтервал дійсної осі

[ x,x) визначається формулою

р(х₁ £ x < х₂) = F (х₂) – F (х₁)

Доведемо цю властивість. Розглянемо подію (x < х₂). Очевидно, що її можна записати у вигляді суми: (x < х₂) = (х₁ £ x < х₂) + (x < х₁), використовуючи формулу додавання для несумісних подій, одержимо р(x < х₂) = р(х₁ £ x < х₂) + р(x < х₁), звідки випливає

F (х₂) = р(х₁ £ x < х₂) + F (х₁) або р(х₁ £ x < х₂) = F (х₂)- F (х₁).

5. Функція розподілу F (х) - неспадна функція на всій осі Ох, тобто якщо х₂ > х_1, то

F (х₂) ³ F (х₁ ).

Дійсно, нехай х₂ > х₁ , у пункті 5 показано, що для F (х₂) справедлива рівність

F (х₂) = р(х₁ £ x < х₂) + F (х₁), а тому що р(х₁ £ x < х₂)0, то звідси випливає, що

F (х₂) ³ F (х₁).

6. Функція розподілу неперервна зліва, тобто

.

Знаючи закон розподілу дискретної випадкової величини, можна обчислити функцію розподілу за формулою

F (x) =,

де підсумовування поширюється на всі ті значення індексу i, для яких .

Приклад 12. Побудувати функцію розподілу для випадкової величини, розглянутої у Прикладі 11. Оскільки функція F(x) визначена для всіх дійсних значень x, то розглянемо послідовно інтервали:

1. х Î (- ∞; 0], F (x) = р(x < x) = 0, тому що подія (x < x) для такого x є неможливою подією.

2. х Î (0; 1], F (x) = р(x = 0) = 1/4, тут нерівності x < x задовольняє одне значення x = 0.

3. х Î (1; 2], F (x) = р(x = 0) + P (x = 1) = 1/4 + 1/2 = 3/4,тут нерівності x < x задовольняють два значення x = 0 і x = 1.

4. х (2; ) F (x) = P ((= 0) + P ((= 1) + P ((= 2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1, для x з цього інтервала нерівності (x < x задовольняють всі значення випадкової величини. Таким чином,

F(x) =

Графік обчисленої функції наведений на Рисунку 7.

Рисунок 7. Функція розподілу.

Дата добавления: 2014-01-07