Інтервальне оцінювання

Розподіл , Стьюдента й Фішера.

1) Розподіл .

Розглянемо послідовність випадкових величин , причому ξ~N(0,1). Розподілом з n порядками волі називається розподіл випадкової величини (n)=. Графік щільності розподілу (n) наведений на Рисунку 20. Математичне сподівання й дисперсія відповідно рівні: ,

Рисунок 20. Графік щільності розподілу (n)

При більших значеннях n >30 розподіл збігається до нормального розподілу. Для розв’язання прикладних завдань використовуються квантилі , таблиця яких наведена в Додатку 3.

2) Розподіл Стьюдента.

Нехай послідовність нормально розподілених випадкових величин, ~N(0,1) і випадкова величина ξ~N(0,1). Розподілом Стьюдента з n порядками волі називається розподіл випадкової величини

, де чисельник і знаменник – незалежні випадкові величині

Графік розподілу наведений на Рисунку21. Математичне сподівання й дисперсія відповідно рівні:

M(t(n))=0, D(t(n))=n/(n-2), n>2.

Щільність розподілу Стьюдента симетрична відносно осі ординат, отже, для квантилей має місце співвідношення

=-. (55)

У Додатку 4 наведена таблиця квантилей розподілу Стьюдента.

При n > 30 розподіл Стьюдента також збігається до нормального розподілу.

Рисунок 21. Щільність розподілу Стьюдента

3) Розподіл Фішера.

Розподілом Фішера зі порядками волі називається розподілом випадкової величини

.

Математичне сподівання й дисперсія дорівнюють:

M,

D,

Графік щільності розподілу наведений на Рисунку 22.

Рисунок 22. Графік щільності розподілу Фішера.

Квантилі розподілу Фішера порядку р і 1-р зв'язані співвідношенням

. (56)

Таблиці квантилей наведені в Додатку 5.

При малих вибірках (n < 30) точкова оцінка може виявитися ненадійною. У цьому випадку будується інтервал оцінок, що називається довірчим інтервалом.

Дата добавления: 2014-01-07