Метод прямих розв‘язку задачі діріхле для рівняння пуасона

Нехай маємо область з §4. і рівняння:

(1)

а також граничні умови:

(2)

Замінивши похідні так само як в §4, отримаємо:

(3)

(4)

При цьому точність наближення рівна

Розглянемо більш точну апроксимацію. Використовуючи розклад функції як функції від змінної в ряд Тейлора в околі точки , маємо:

Аналогічно замість функції в ряд Тейлора можна розкласти її другу похідну:

З останніх двох рівнянь визначимо четверту похідну, тоді:

(5)

З рівняння (1) (6)

Підставивши (6) в (5) і звівши подібні доданки маємо:

(7)

Крім того ще граничні умови:

(8)

(7) і (8) дають апроксимацію рівняння (1) з точністю до .

Якщо область прямокутна і має вигляд криволінійної трапеції яка обмежена прямими:

і кривими

,

то описана вище

схема методу

прямих не буде

коректною.

В такому випадку

поступають так:

Будуємо контур який складається з ліній:

де >0 достатньо мале.

Розглянемо систему прямих:

, де - крок

Абсциси точок перетину прямої з контуром і самі ці точки позначимо відповідно.

Рівняння:

(9)

будемо розв‘язувати лише на спільній частині трьох отриманих відрізків. (Вважаючи, що крок настільки малий, що спільна частина цих відрізків буде відрізком).

Крайові умови для задамо так:

(10)

- задана гранична функція.

Розв‘язки системи (9) і (10) шукають методом послідовних наближень. Приймаючи за перше наближення для відрізку

Наступні наближення шукаємо з системи рівнянь:

Дата добавления: 2014-01-07