Плоский рух твердого тіла

Це такий рух, коли кожна точка твердого тіла рухається в своїй площині, що паралельна до деякої нерухомої площини. При цьому плоска фігура, утворена перерізом тіла нерухомою площиною, весь час в процесі руху залишається в цій площині. Так рухається, наприклад, циліндр по похилій площині без проковзування.

При такому русі положення твердого тіла повністю визначається положенням плоскої фігури (перерізу тіла) в нерухомій площині.

Нехай плоска фігура рухається в площині нерухомої -системи відліку (рис.16). Щоб задати положення плоскої фігури в площині можна зробити так: задамо радіус-вектор довільної точки фігури і кут між вектором , який жорстко зв’язаний з фігурою , і деяким фіксованим напрямом в -системі (наприклад, кут між і віссю ). Тоді плоский рух твердого тіла буде описуватись двома рівняннями

; .

Очевидно, якщо за час радіус-вектор точки повернеться на кут (рис.16), то на такий же кут повернеться і любий відрізок, жорстко зв’язаний з фігурою . Звідси випливає, що поворот фігури на кут не залежить від вибору точки . А це означає, що і кутова швидкість фігури теж не залежить від вибору точки і ми маємо право говорити про , як про кутову швидкість твердого тіла вцілому.

Знайдемо тепер швидкість довільної точки тіла при плоскому русі. Введемо -систему відліку, яка шарнірно зв’язана з точкою тіла і рухається поступально відносно -системи (рис.16). Тоді елементарне переміщення точки в -системі можна записати

,

тут – переміщення -системи (точки ), а – переміщення точки відносно -системи. Переміщення , обумовлене обертанням тіла навколо нерухомої в -системі осі, яка проходить через точку . Згідно з . Після підстановки цього виразу в попередній і ділення результату на , одержуємо

.

Отже, плоский рух твердого тіла можна представити як результат складання двох основних видів руху – поступального (разом з довільною точкою тіла) і обертального (навколо осі, що проходить через точку ).

Тепер покажемо, що плоский рух можна звести до чисто обертального руху. Дійсно, оскільки в формулі , то завжди знайдеться така точка , жорстко зв’язана з тілом, швидкість якої в даний момент часу. Із умови можна знайти положення точки , тобто її радіус-вектор відносно точки (рис.17). Точка визначає положення осі обертання (з кутовою швидкістю ), у якої миттєва лінійна швидкість дорівнює нулю. Така вісь називається миттєвою віссю обертання. Наприклад, у циліндра, що котиться по площині, миттєва вісь в кожний момент часу співпадає з лінією дотику циліндра і площини.

Дата добавления: 2014-01-06