Лекция №3. Тема: Динамика вращательного движения

Тема: Динамика вращательного движения. Момент силы относительно точки и оси. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения. Теорема Штейнера. Основной закон динамики вращательного движения. Момент импульса твердого тела относительно оси вращения. Закон сохранения момента импульса.

При вращательном движении все частицы твердого тела опи­сывают окружности вокруг оси вращения тела. Угловая скорость и ускорение ε для частиц тела одинаковы. Линейные скорость V и ускорение пропорциональны расстоянию частицы от оси вращения (). Если тело может вращаться только вокруг неподвижной оси, то способность силы F вращать тело вокруг этой оси характеризует момент силы относительно оси M.

Момент силы относительно оси представляет собой осевой вектор, направленный по оси вращения, и определяется по правилу правого буравчика. В общем случае записывается:

,

где – радиус-вектор; – сила.

Вращающееся тело, как всякое движущееся тело, обладает кинетической энергией:

.

Сумма произведений масс элементарных частей тела на квадраты их расстояний до определенной оси называется моментом инерции тела относительно этой оси:

.

Для сплошного тела момент инерции выражается интегралом:

.

С учетом этого кинетическая энергия вращающегося тела:

.

Величина момента инерции существует безотносительно к вращению.

Момент инерции тонкого стержня длиною l относительно оси симметрии: J = ml², относительно оси, проходя­щей через конец стержня: J = ml ².

Момент инерции бруска длиною a и шириною b относительно оси симметрии: J = m(a²+b²).

Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) радиусом R относительно оси симметрии: J = m ^. R².

Момент инерции диска (сплошного цилиндра) радиусом R, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости диска J = mR².

Момент инерции шара радиусом R относительно оси симметрии: J = mR².

Если ось вращения тела параллельна оси симметрии, но смещена от нее на расстояние l, то момент инерции J ¹ относительно параллельно смещенной оси выражается соотношением

J¹ = J + ml²

где J – момент инерции относительно оси симметрии, имеющей название теоремы Штейнера. Зависимость между моментом инерции тела и моментом силы, вызвавшим вращение тела, называется основным уравнением дина­мики вращательного движения и записывается:.

Это выражение можно записать и так:

М = Jε = J= .

В последнем выражении – есть момент количества движения относительно оси вращения. Для замкнутой системы момент внешних сил М равен нулю, тогда

или J= const.

В заключение покажем аналогию между величинами, характеризующими

поступательное движение, и соответствующими величинами вращательного движения (табл.).

Движения
Поступательные	Вщательные
Линейное перемещение S Линейная скорость V	Угловое перемещение Угловая скорость
Линейное ускорение Сила F	Угловое ускорение ε Момент силы M
Количество движения mV Импульс силы Ft	Момент количества движения Момент импульса силы Mt
Масса m	Момент инерции
V = V0 t
F = mа = A = Fds	M = Jε = A = Md
N = FV E К =	N = M EК =

Дата добавления: 2014-01-07