Умножения вероятностей

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМА

ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Сочетания с повторениями; 2) размещения с повторениями; 3) перестановки с повторениями; 4) сочетания.

1) 0,5; 2) 0,7; 3) 0,8; 4) 0,9.

Из 25 экзаменационных вопросов студент подготовил 21. В экзаменационном билете 2 вопроса. Найти вероятность того, что взятый билет содержит только подготовленные вопросы.

1) 360000; 2) 1720000; 3) 1728000; 4) 3600000.

Тесты

14. Номерной знак автомобиля содержит три цифры и три буквы, принимающие 12 значений. Сколько из них можно составить разных комбинаций?

15. Мама составила из кубиков с буквами слово «малыш». Малыш разбросал кубики и затем снова собрал их. Какова вероятность, что он снова соберёт это слово?

1) 1/5; 2) 1/24; 3) 1/120; 4) 1/125.

16. На прилавке 10 различных книг, причём пять книг стоят по 100, три книги - по 150 и две книги - по 200 рублей. Покупатель наудачу выбрал две книги. Найти вероятность того, что их суммарная стоимость 300 рублей.

1) 1/5; 2) 13/45; 3) 2/9; 4) 2/3.

18. В урне 8 белых и 4 черных шаров. Какова вероятность того, что из вынутых наудачу 3 шаров белых окажется 2?

1) 1/2; 2) 5/12; 3) 1/6; 4) 28/55.

19. Как в комбинаторике называются соединения, которые состоят из k возможно повторяющихся элементов n -элементного множества и отличаются только составом элементов?

Лекция 2

Вероятность некоторого случайного события A, как правило, изменяется, если уже известно, что произошло другое событие B. Вероятность события A при условии, что событие B с вероятностью Р (В) ¹ 0 уже произошло, обозначается как Р (A / B) (или ) и называется условной вероятностью A при условии В.

З а д а ч а. Одновременно бросают две игральные кости. Пусть событие А – “сумма выпавших очков не менее 10”, а событие В – “четная сумма выпавших очков”. Найти Р (А / В).

Решение. Если известно, что В уже произошло, то для А имеется 6 × 6 / 2 = 18 возможных элементарных событий. Из них благоприятными для А являются четыре: (4, 6), (6, 4), (5, 5), (6, 6). Следовательно, Р (А / В) = 4/18 = 2/9.

Условная вероятность может быть вычислена по формуле

. (1)

Если это выражение разрешить относительно Р (А × В), то получаем теорему умножения вероятностей:

,

т.е. вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

В частности, для двух независимых событий имеем Р (В / А) = Р (В), и поэтому Р (А × В) = Р (А) × Р (В), а для двух несовместных событий Р (В/А) = 0, и получаем Р (А × В) = 0.

З а д а ч а. На первом этаже в лифт шестиэтажного дома входят 4 человека. Каждый пассажир независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность события А: лифт проедет без остановки второй этаж.

Решение. Всего этажей, на которых могут выйти пассажиры, пять. Поскольку вероятности выйти i –ому пассажиру на любом этаже (событие ) одинаковы, значит, эта вероятность равна 0,2. Вероятность противоположного события (не выйти на любом из этажей) – 0,8. Событие А (невыход всех четырёх пассажиров на втором этаже) – это произведение . В силу независимости событий искомая вероятность Р (А) = = 0,41.

Здесь надо отчётливо осознать, что номер этажа никакой роли не играет, все этажи равноценны: та же вероятность получится для любого этажа, на котором лифт не остановится. В частности, задача: ”лифт не поднимется выше четвёртого этажа” эквивалентна задаче: “лифт не остановится на втором и четвёртом этажах”. Вероятность выйти пассажиру на двух этажах из пяти, как это ни парадоксально звучало бы в жизненной ситуации, в теории вероятностей равна 2/5 = 0,4, а на всех пяти этажах – 1.

Дата добавления: 2014-01-07