Производные обратной и сложной функций

Пусть функция - дифференцируемая и строго монотонная функция

на множестве . Если переменную у рассматривать

как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y, .

Теорема 1. Пусть функция в точке имеет производную , тогда обратная функция в точке имеет производную, причем .

Пример. Если , то .

. То есть как , так и .

Пусть переменная у есть функция от переменной х, а переменная х есть функция от независимой переменной t, то есть задана сложная функция .

Теорема 2. Если функция и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу х, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной t, то есть .

Замечание. Если , то .

Пример. Рассмотрим , где , то есть .

Дата добавления: 2014-01-07