Условие дифференцируемости функции в точке

Определение. Функция ,определенная на множестве X, называется дифференцируемой во внутренней точке , если ее приращение в точке можно представить в виде , где A не зависит от , а при .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точкефункция имела конечную производную.

Доказательство.

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Докажем, что в точке функция имеет конечную производную. Из определения

дифференцируемости функции в точке следует, что

Разделим равенство на . Получим:

.

Достаточность. Пусть в точке имеет конечную производную

, тогда , где при функция дифференцируема в точке по определению дифференцируемости.

Дата добавления: 2014-01-07