Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций

Теорема о среднем значении определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.

Лекция 11. Определенный интеграл.

Пусть функция определена и непрерывна на [ a;b ]. Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми и . Разобьем отрезок [ a;b ] на n произвольных частей точками так, чтобы .Через отмеченные точки проведем прямые, параллельные оси ординат, и получим на каждом отрезке криволинейную трапецию. При этом площадь всей криволинейной трапеции будет равна сумме площадей маленьких криволинейных трапеций. На каждом отрезке выберем точку и значение функции в этой точке. На отрезке строим прямоугольник высоты , площадь которого =. Площадь этого прямоугольника примерно равна площади маленькой криволинейной трапеции.

Найдем сумму площадей всех прямоугольников. Эта сумма имеет вид и называется интегральной. Она зависит от способа разбиения отрезка [ a;b ] на участки и от выбора точки на каждом участке разбиения. Интегральная сумма приближенно описывает площадь криволинейной трапеции.

Точное значение площади криволинейной трапеции мы получим, если найдем предел интегральной суммы при и при условии, что диаметр максимального разбиения стремится к нулю, то есть .

Определение. Определенным интегралом функции на [ a;b ] называется предел вида .

Если предел конечен, то называется интегрируемой на [ a;b ]. Этот предел не зависит от способа разбиения [ a;b ] на участки и не зависит от выбора точки на каждом участке разбиения и обозначается , где a - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла.

численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком и прямыми .

Дата добавления: 2014-01-07