Постановка основных начально-граничных задач. Уравнение в частных производных (1) при определенных условиях относительно коэффициентов в правой части имеет бесчисленное множество частных решений

Уравнение в частных производных (1) при определенных условиях относительно коэффициентов в правой части имеет бесчисленное множество частных решений. Поэтому одного уравнения (1) не достаточно для полного определения движения струны. Нужны еще дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи. Из динамики известно, что для определения движения точки нужно знать её начальное положение и начальную скорость. Поэтому для определения движения струны естественно задать в начальный момент времени положение и скорость всех точек струны, т.е.

, . (4)

Условия (4) называются начальными условиями или условиями Коши.

Струна может быть закрепленной или не закрепленной на концах. Для закрепленной на концах струны имеем

, . (5)

где , – длина струны.

Условия (5) называются граничными или краевыми условиями.

Таким образом, физическая задача об определении движения струны, закрепленной на концах, свелась к следующей математической задаче: найти решение д.у. (1), удовлетворяющее начальным условиям (4) и граничным условиям (5). Такая задача называется первой начально - граничной задачей для д.у. в ч.п. гиперболического типа, в частности, для уравнения струны.

Если концы струны не закреплены, а движутся по определенному закону, то условия (5) заменяются условиями:

, ,

где и – заданные достаточно гладкие функции.

Возможны и другие типы граничных условий. Граничные условия различают трех видов (родов).

Дата добавления: 2014-01-07