Граничные условия третьего рода

Граничные условия второго рода

Граничные условия первого рода

, . (6)

Условия (6) означают, что концы струны движутся вертикально оси по закону заданных функций и .

, . (7)

Условия (7) означают, что к концам струны приложены известные силы и .

,

, (8)

где – заданные на достаточно гладкие функции, причем и . Условия (8) означают упругое закрепление концов струны.

Если функции, задаваемые в правой части граничных условий (6) – (8), равны нулю, то граничные условия называются однородными (нулевыми).

Поясним граничные условия (7) и (8). Рассмотрим задачу о продольных колебаниях пружины (см. рис. 2), один конец которой закреплен в точке подвеса, а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан. Если в точке подвеса , отклонение , а на свободном конце натяжение пружины равно нулю:

.

x = 0 x = l x

Рис. 2

Поскольку действие внешних сил отсутствует, то математическая формулировка условия свободного конца имеет вид:

.

Если конец пружины движется по определенному закону , а при задана сила , то граничные условия имеют вид:

, .

Типичным также является условие упругого закрепления, например, для конца

или , , ,

где , при котором конец может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в начальное положение. По закону Гука данная сила пропорциональна смещению , при этом коэффициент пропорциональности называется коэффициентом жесткости закрепления.

Если точка , относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие имеет вид

, . (9)

Условие упругого закрепления на левом конце имеет вид

,

так как сила натяжения .

Отметим, что в случае жесткого закрепления (велико), т.е. когда даже небольшие сдвиги конца вызывают большие натяжения, граничное условие (9) переходит в граничное условие первого рода , .

В случае мягкого закрепления (мало), т.е. когда большие сдвиги конца вызывают слабое натяжение, граничное условие (9) переходит в условие второго рода (условие свободного конца)

, .

Если на обоих концах струны берутся граничные условия 2 – го или 3 – го рода, т.е. условия (7) или (8), то соответствующие задачи называются второй или третьей начально-граничными задачами для д.у. в ч.п. гиперболического типа, в частности, для уравнения струны.

Если граничные условия при и имеют различные типы, то такие начально-граничные задачи называют смешанными.

Дата добавления: 2014-01-07