Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Пусть Х—случайная величина и М (X)—ее ма­тематическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х— М(Х).

Отклонением называют разность между случайной ве­личиной и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения Х известен:

Напишем закон распределения отклонения.

Для того

точно, чтобы случайная величина приняла значение х₁. Вероятность же этого события равна р₁, следовательно, и вероятность того. что отклонение примет значение

и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Приведем важное свойство отклонения, которое исполь­зуется далее.

Теорема .

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Доказательство.

Пользуясь свойствами матема­тического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М (X) — постоянная величина, и меем

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание X:

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений Х вычтем математическое ожидание М(Х}:1—1,8=0,8;

2—1,8=0,2.

Напишем закон распределения отклонения:

Найдем математическое ожидание отклонения:

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.

Замечание.

Наряду с термином «отклонение» используют термин «центрированная величина».

Дата добавления: 2014-01-07