Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Аффинное преобразование в координатах




 

Теорема 1: при аффинном преобразовании пространства координаты произвольной точки и координаты ее образа в одной и той же аффинной системе координат связаны формулами вида

, , (1)

то есть

 

при условии (2)

 

□ Введем в пространстве аффинную систему координат и пусть при аффинном преобразовании отображается на точку . Обозначим также , где .

 

 

Векторное преобразование , ассоциированное с , является линейным, следовательно, выражается формулами вида:

При выполнении условия (2). По определению ассоциированного отображения, векторное отображение отображает вектор на вектор . Но , (’-), тогда, подставляя координаты этих векторов вместо и в формулы (3), получаем равенства:

то есть равенство (1). ■

 

Замечание 1: следует отличать формулы (1) аффинного преобразования пространства от внешне похожих на них формул преобразования координат точки (6) из теоремы (2) §2, где связаны координаты одной и той же точки в разных системах координат. Формулы же (1) связывают, вообще говоря, координаты двух различных точек (точки и её образа) в одной и той же системе координат.

 

 

Теорема 2 (обратная): всякое преобразование пространства , выражаемое в некоторой аффинной системе координат формулами вида (1) при условии (2), является аффинным преобразование этого пространства.

 

□ Пусть - векторное пространство, связанное с данным аффинным пространством . По определению аффинного преобразования достаточно показать, что для данного преобразования существует ассоциированное с ним изоморфное преобразование пространства .

Покажем, что таким преобразованием является преобразовании с формулами (3).

Пусть при и отображаются соответственно на точки и , тогда имеем: и . Но по формулам (1)

 

 

Оттуда получаем:

 

 

Таким образом, координаты векторов и связаны уравнениями (3). Следовательно, преобразование отображает вектор на вектор и поэтому ассоциировано с преобразованием . Так как преобразование выражается формулами (3) при условии (2), то оно является изоморфным. ■

 

Следствие: если аффинное преобразование выражается формулами (1) при условии (2), то ассоциированное с ним векторное преобразование выражается формулами (3).

 

Теорема 3: для любых двух реперов и существует единственное аффинное преобразование пространства такое, что оно отображает точку A на точку A’, ассоциированное с ним векторное преобразование отображает базис на базис .

 

□ 1) Рассмотрим аффинную систему координат . Из курса алгебры известно, что в векторном пространстве , связанным с , существует единственное преобразование , отображающее базис на базис . Пусть оно выражается формулами (3) при условии (2). Тогда аффинное преобразование с формулами (1), где , обладает всеми свойствами, перечисленными в теореме.

С другой стороны, непосредственно подставляя координаты точек в формулы (1), убеждаемся, что .

2) Обратно, любое аффинное преобразование со свойствами из формулировки теоремы совпадает с преобразованием с формулами (1). Действительно, пусть задано формулами:

 

 

Так как , то имеем: . А так как векторное преобразование, ассоциированное с , отображает базис на базис , то оно совпадает с преобразованием и . ■

 

Замечание 2: Назовем два координатных репера одноименными, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный определитель, в противном случае (если определитель матрицы перехода отрицателен) назовём реперы разноименным. Таким образом, множество всех базисов распадается на два непересекающихся класса. Назовем их правые и левые. При аффинном преобразовании с положительным определителем все правые системы векторов переходят в правые системы, а левые – в левые. При аффинном преобразовании с отрицательными определителем все правые системы векторов переходят в левые системы, а левые – в правые.

 

Определение 1: аффинное преобразование пространства , матрица которого имеет положительный определитель, называется аффинным преобразованием I рода, а аффинное преобразование, матрица которого имеет отрицательный определитель, называется аффинным преобразованием II рода.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 994; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.