Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Группа аффинных преобразований и её подгруппы. Предмет аффинной геометрии





. Понятие группы было рассмотрено в курсе алгебры. Пусть имеется некоторое непустое множество преобразований. Из определения группы следует, что является группой относительно композиций преобразований, то есть их последовательного выполнения, если выполняются следующие условия:

1.) Композиция любых двух преобразований из также принадлежит .

2.) Для композиции преобразований из справедлив ассоциативный закон.

3.) В содержится тождественные преобразования (играет роль единичного элемента).

4.) Преобразование, обратное любому преобразованию из , также принадлежит .

Известно, что второе условие выполняется для любых преобразований. Из выполнения первого и четвертого условий следует выполнение третьего условия: из

Следовательно, если мы хотим доказать, что является группой, то так достаточно проверить выполнение лишь первого и четвертого условий.

 

 

Теорема 1: множество аффинных преобразований пространства является группой.

 

□ 1) Пусть , докажем, что . Обозначим через ассоциированные с векторные преобразования. Пусть для произвольных точек : . Так как – аффинные преобразования, что по определению (1) из §7

Так как – линейные преобразования, то и - линейное преобразование. Из (1) следует, что векторное преобразование ассоциировано с преобразованием . По определению (1) из §7 - аффинное преобразование.

4.) Пусть , покажем, что обратное ему преобразование . Обозначим через линейное преобразование, ассоциированное с . Пусть для произвольных точек , а так как - аффинное преобразование, то , откуда . Следовательно, – линейное преобразование, ассоциированное с , и – аффинное преобразование. ■

 





Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 302; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.001 сек.