ЛЕКЦИЯ 7. Обобщающие замечания. Необходимость в определении точечных оценок параметров распределения может возникнуть и тогда

Обобщающие замечания. Необходимость в определении точечных оценок параметров распределения может возникнуть и тогда, когда закон распределения случайной величины известен и оценки его параметров найдены (ГОСТ 27.503). Если известны лишь самые общие характеристики случайной величины х_ср, х_σ, а необходимо найти закон ее распределения, то для этого используют коэффициент вариации ν = х_σ /х_ср

Обобщение около 300 законов распределения случайных величин, связанных с эксплуатацией автомобилей (ν в пределах 0,1—1,3), позволило проследить связь между коэффициентами вариации и законами распределения, рассмотренными выше. Коэффициент ν растет, и распределение отличается от нормального тем заметнее, чем больше сказывается влияние фактора, резко выделяющегося при суммировании всех случайных факторов, или при значительном отклонении от линейной функции изменения параметров по времени или пробегу автомобилей.

Ниже приведены значения коэффициентов вариации случайных величин, встречающихся при технической эксплуатации автомобиля, для различных законов распределения.

Нормальный, ν =0, 25 (0, 08 — 0, 40)

Пробеги автомобилей к календарным срокам................................. 0,10

Периодичность профилактических работ.........................................0,20

Интенсивность изнашивания, ресурс............................................... 0,28

Периодичность групп первых казов..................................................0,38

Вейбулла, ν =0,44 (0 ‚36 — 0,63)

Периодичность групп первых отказов.............................................. 0,43

Интенсивность изнашивания, ресурс............................................... 0,47

Лоенормальмый, ν =0, 68 (0,35—0, 80)

Трудоемкость операций нерегулярного обслуживания................... 0,44

Интенсивность изнашквания, ресурс................................................. 0,53

Периодичность отказов резьбовых соединений................................ 0,72

Вейбулла, ν =0,71 (0,40—0,8)

Трудоемкостъ и продолжительность ремонта................................... 0,70

Переодичность отказов резьбовых соединений................................ 0,75

Экспериментальный, ν =0,92 (0,6—1,30)

Трудоемкость и продолжительность ремонта......................................0,90

Переодичность внезапных отказов....................................................... 0,95

Периодичность между отказами (кроме первых).................................0,98

Из приведенных данных видно, что по значению ν можно предварительно оценить, среди каких законов распределения находится искомый. Число возможных законов может быть от одного до трех (например, при ν =0,40). Общий характер закона Вейбулла позволяет свести искомое число законов к двум.

Полезен также опыт длительного изучения надежности автомобилей в экспериментально-производственных автохозяйствах (ЭПАХ). Распространенность различных законов распределения оказалась следующей (в %): Вейбулла — 60, нормального — 35, экспоненциального — 3, логнормального —2

В ряде задач возникает необходимость установить закон распределения случайной величины после того, как она найдена опытным путем. Подобная задача решается разными путями. Например, путем проб подбирают тот или иной закон распределения. Правильность выбора проверяют по критериям согласия. Удобно использование соответствующей стандартной программы для ЭЦВМ или, при приближенных расчетах, вероятностной сетки ГОСТ 11.008.

Иногда приходится учитывать композицию законов распределения. Изделия могут включать элементы с различной природой отказов: в подшипниковом узле может оказать уплотнение (появится течь) или наступит усталостное разрушение подшипника. При этом отказам соответствуют различные законы распределения.

Для сложного изделия возникает необходимость найти закон распределения как сочетание разных распределений, присущих отдельным элементам изделия. Подобные задачи ставятся по - разному. Вероятность неразрушения элемента зависит от разности величин, характеризующих стойкость (предельное напряжение) и нагруженность (рабочее напряжение) элемента. Характеристики стойкости и нагруженности задаются своими законами распределения, по которым надо найти закон распределения параметра, характеризующего неразрушение элемента.

На основании этого может быть сформулирована следующая задача. Имеется несколько независимых случайных величин х₁, х₂, х₃,..., заданных плотностями распределения вероятностей f (х₁), f (х₂), f (х₃),... Сложная величина х равна сумме независимых случайных величин х=х₁+х₂+х_3.... Поскольку х₁, х₂, х₃,..., случайные величины, их сумма тоже будет случайной величиной с искомой плотностью распределения вероятностей f (х). Этот закон распределения называется композицией законов распределения величин х₁, х₂, х₃,... Компози может существовать для любого числа случайных величин и представляет обой сложную случайную величину с общими свойствами, не зависящими от вида законов распределения:

- математическое ожидание композиции равно сумме математических ожиданий независимых случайных величин;

- дисперсия композиции равна сумме дисперсий независимых случайных величин. Пусть σ²(х) = σ²(х₁) + σ²(х₂) + σ²(х ₃), откуда среднее квадратическое отклонение

σ(х) = √ σ²(х₁) + σ²(х₂) + σ²(х ₃)

Если, например, х=х₁+х₂ и σ(х₁) = 1, σ (х ₂) = 0,1 то σ²(х) = 1,01, а σ(х) = 1,005. Следовательно, при значительной разнице дисперсий независимых случайных величин дисперсия композиции будет близка к дисперсии той случайной величины, у которой дисперсия имеет наибольшее значение.

Из рассмотренных выше распределений нормальное распределение обладает тем свойством, что копозиция случайных величин с нормальным распределением есть также нормальное распределение.

При расчетах возникает необходимость связать вероятность появления случайной величины х с ее значением. Для этого пользуются понятием квантиля u_р т. е. числа, удовлетворяющего условию Р(u_р) = Р. Квантили нормального распределения приведены ниже.

Р(u_р)_.... 0,5 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999

u_р......... 0 0,524 0,824 1,282 1,645 2,326 3,090 3,7

Пример 1. Найти величины х_мин и х_мах в пределах которых заключены значения х с вероятностью Р=0,9999

При этом u_р = 3,09, следовательно, х_мин = m_х – 3,09σ. Полученные значения соответствуют «правилу трех σ».

Пример 2. Определить вероятность того, что 1,282 ≤ х ≤ 1,645. Из приведенных данных находим Р(х ≤ u_0,9) = 0,90; Р(х ≤ u_0,95)= 0,95. Тогда

Р(u_0,9 ≤ х ≤ u_0,95) = Р(u_0,95 ) - Р(u_0,9 ) = 0,05

Следовательно, квантили 1,282 н 1,645 определяют область изменения случайной величины х, вероятность попадания в которой равна 0,05.

Описание опытных данных об отказах той или иной статистической моделью, тем или иным законом распределения позволяет, казалось бы, внести значительную определенность в расчеты, сделать их достаточно точными. В действительности часто точность их относительна, что обусловлено значительным рассеянием характеристик надежности. Например, подшипники качения являются относительно простым элементом, изготовляемым только на специализированных заводах по хорошо отработанной технологии, часто на автоматических поточных линиях. Казалось бы, налицо все условия для высокой стабильности продукции, минимального рассеяния качества, ресурса подшипников.

Соображения, приведенные выше, позволяют считать весьма возможным рассеяние ресурсов по нормальному закону с коэффицинентом вариации менее 0,3. Стендовые испытания роликовых конических подшипников дали совсем иную картину. Исходными были данные о 88 выборках, охвативших 1750 подшипников. Рассеяние получилось значительным (ν = 0,3...1,0, чаще 0,5—0,7).

Если судить по этим значениям коэффициента вариации то распределение ресурсов могло подчиняться любому из рассмотренных выше законов распределения. Не вдаваясь в подробности [учет небольших по численности выборок, благоприятные (стендовые) условия испытаний и др.], ограничимся общим выводом: точность расчетов зависит от конкретного анализа каждой ситуации. достоверности и стабильности исходных данных (априорный – предшествующий опыту - выбор закона распределения не дает точных оценок, апостериорный – происходящий из опыта - предпочтителен).

Обобщающее значениё для агрегатов машин массового производства имеет следующее наблюдение: «подвержены действию множества конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов, каждый из которых может оказать значительное влияние на надежность. Эти факторы, сочетающиеся различным образом, обусловливают широкий диапазон варьирования ресурсов и показателей безотказности.

Дата добавления: 2014-01-07