Теореме Коши для многосвязной области

.

Из определения вычета следует, что , следовательно,

,

что и требовалось доказать.
Примеры вычисления интегралов с помощью основной теоремы о вычетах.
1. , где L - квадрат | x | + | y | = 2.
Обе особые точки подынтегральной функции: z ₁= 0 и - расположены внутри контура L, поэтому .

Точка z ₁= 0 -полюс первого порядка,

.

Точка - нуль первого порядка и для числителя, и для знаменателя; докажем, что это - устранимая особая точка подынтегральной функции. Пусть , тогда , и

,

конечный предел существует, поэтому, действительно, это - устранимая особая точка, и . По основной теореме о вычетах .
2. . В примере 2 раздела Примеры нахождения вычетов мы доказали, что точка z = 2 - существенно особая точка подынтегральной функции, и , поэтому

.
3. . Здесь подынтегральная функция

имеет две особые точки, расположенные в области, находящейся внутри контура: z ₁ = i (простой полюс) и z ₂ = - i (полюс второго порядка). , ; .
4. .

Внутри контура расположена одна особая точка подынтегральной функции f (z): z = 0. Это - существенно особая точка, поэтому для нахождения вычета необходимо найти коэффициент A _-1 разложения f (z) в ряд Лорана в окрестности этой точки: ; .
,

однако нет необходимости выписывать произведение этих рядов, достаточно только собрать те попарные произведения, которые дают минус первую степень переменной z: .

Легко сообразить, что это ряд для sh z при , т.е. , и .

Дата добавления: 2014-01-07