Система с постоянной энергией. Каноническое распределение

Изолированных систем в природе практически не бывает (за исключение одной, которую называют Вселенной). Рассмотрим малую часть этой Вселенной, систему S, которая обменивается с окружающим миром, системой W, только энергией.

Все системы находятся в равновесии. Определим вероятность того, что система S находится в одном из своих квантовых состояний n с энергией E_n. При определении квантового состояния системы S возникает трудности, так как состояние системы S должно определяться только состоянием ее частиц. Но состояние частиц системы S может зависеть от состояния частиц системы W. До того, чтобы упростить задачу, мы будем рассматривать системы лишь с парным взаимодействием, то есть взаимодействует только две частицы.

Потенциальная энергия парного взаимодействия имеет вид

При парном взаимодействии на расстоянии R >> R_D взаимодействия почти нет. Таким образом, при парном взаимодействии между системами S и W будет осуществляться за счет частиц, находящихся в граничном слое между системами, ширина которого R_D. Если предположить, что средняя плотность частиц в системе u больших скачков не испытывает, что число частиц в системе S и в граничном слое будет пропорционально их объемам:

N_S/N_SW = V_S/V_SW

Если размер системы S равен R_S, то и ее объем R_S. Объем граничного слоя будет равен R²_SR_D.

N_S/N_SW = R³_S / R²_S R_D = R_S / R_D

Если размер системы много больше, чем радиус взаимодействия между частицами, что N_S>>N_SW и в этом случае частицы, находящиеся в граничном слое, влияния на состояние системы S и W оказывают очень незначительное.

Таким образом, в случае взаимодействия можно говорить о состоянии системы S независимо от состояния системы W, при этом энергия системы U(E_U) будет равен:

E_u = E_n + E_W + E_SW

E_n – энергия системы S

E_W – энергия системы W

E_SW – энергия частиц в граничном слое

E_u – энергия Вселенной

В нашем приближении E_u = E_n + E_W

Система u находится в равновесии, что означает, что вероятность любого из доступных состояний одинакова и равна 1/Г_u, где Г_u число доступных состояний системы u, при которых система S находится в состоянии n с энергией E_n будет:

P_n(E_n) = Г_u^*/ Г_u = Г_W(E_u – E_n) / Г_u

Разложим полученную функцию в ряд, так как E_u много больше, чем E_n. Для лучшей сходимости разложим в ряд:

lnГ_W(E_u – E_n) = lnГ_W(E_n) – E_n (∂lnГ_W(E_u) / ∂E)

(∂lnГ_W(E_u) / ∂E)(E_u) = β

lnГ_W(E_u – E_n) = lnГ_WE_u – βE_n + …

Г_W(E_u – E_n) = Г_WE_ue^{- βEn}

P_n(E_n) = Г_W(E_u – E_n) / Г_u = (Г_WE_u / Г_u) e^{- βEn} = e^{- βEn} / z,

где постоянный коэффициент z можно найти из условия нормировки:

∑ P_n = 1

Находим z = ∑ e^{- βEn} – статистическая сумма

P_n(E_n) = e^{- βEn} / z – каноническое распределение Гиббса

Дата добавления: 2014-01-07