Элементарные преобразования матрицы

Тема 4. Метод Жордана-Гаусса решения СЛАУ

Для самостоятельного решения.

Повторение. Равносильные преобразования СЛАУ, вырожденная, транспонированная матрица.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных, основывающемся на свойствах равносильности систем.

Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование.

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов). Вычисление определителя производится путём последовательного понижения порядка определителя посредством элементарных преобразований, не меняющих его значение.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(6)

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения;

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.

Получим:

, где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример 4.1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример4.2. Решить систему методом Гаусса.

Решение. Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Для самостоятельного решения:

1. Ответ: {1, 2, 3, 4}.

2.

При решении СЛАУ методом Гаусса возможны такие случаи:

1) В каждой строке и в каждом столбце матрицы есть только один ненулевой элемент, все остальные 0 – СЛАУ имеет единственное решение;

2) В расширенной матрице появилась хотя бы одна строка, все элементы 0 – СЛАУ имеет множество решений;

3) В расширенной матрице появилась хотя бы одна строка, все элементы 0, а свободные слагаемые не равны 0 – СЛАУ не имеет решений.

Дата добавления: 2014-01-07