Обратная угловая засечка

В обратной угловой засечке в определяемом пункте Р измеряются углы и (рис. 42) на три исходные пункта А, В, С. По координатам исходных пунктов и этим измеренным углам необходимо вычислить координаты точки Р.

Рис. 42

Существует множество методов решения обратной угловой засечки. Ее еще называют задачей Потената. В данном случае приведем решение предложенной Книтсемм.

В его основу полагается формула тангенса сумм углов.

Так, можно записать

или

Для простоты дальнейшего изложения начало системы координат располагают в точке А. Это значит, что координаты остальных пунктов будут такими

Понятно, что при этом Координаты определяемого пункта Р обозначим без индекса, т.е. положим

Далее можно ввести еще и такие обозначения

Тогда, с учетом принятых обозначений, формулу тангенсов можно переписать так

Приводя числитель и знаменатель в правой дроби к общему знаменателю последние выражение примем так

Для исключения дроби осуществим соответствующие перемножения

После раскрытия скобок найдем

Исключая из этого выражения соответствующую перепишем его в виде

или в виде многочлена второй степени

В данном уравнении два неизвестных и Для их поиска необходимо составить второе уравнение с этими же неизвестными.

Очевидно, что без вывода можно записать

Введем обозначение

Тогда

Для решения этой системы уравнений выведем одно уравнение из другого

или

Подставляя это выражение в первое уравнение запишем

или

Из этого уравнения окончательно будет

Это является окончательным решением однократной обратной засечки. Для контроля решения используется дополнительные исходные пункты. Минимальное число избыточных пунктов будет при четырёх исходных пунктах А, B, С, Д (рис. 43).

Рис. 43

Тогда можно получить два независимых решения – по исходным пунктам А, В, С и по А, В, Д. Причем второе решение может быть при другом сочетании исходных пунктов.

При выполнении обратной засечки необходимо, чтобы все пункты А, В, С, Д, Р не находились на одной окружности. В такой ситуации решение обратной геодезической засечки не существует.

Дата добавления: 2014-01-07