Тригонометрические функции

Основные элементарные и гиперболические функции.

Функция комплексного переменого. Предел. Непрерывность.

Комплексная функция действительного переменного.

Задание комплексной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t), где tÎR, равносильно заданию вектор-функции (x(t),y(t)). Поэтому понятие предела, непрерывности, производной вектор-функции переносятся на комплекснозначную функцию действительного переменного z=z(t): [lim(t®t₀)z(t)= a+bi]Û [lim(t®t₀)x(t)= a & lim(t®t₀)y(t)= b]; [z(t)Î c{t₀}]Û [x(t)Î c{t₀} & y(t)Î c{t₀}], z¢(t₀)= lim(t®t₀)(z(t)-z(t₀))/(t-t₀)= x¢(t₀)+ iy¢(t₀). z¢(t₀) есть касательный вектор к кривой z=z(t) в точке z(t₀), указывающий положительное направление. Если z¢(t) непрерывна и отлична от нуля, то кривая гладкая. Определённым интегралом от комплекснозначной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t) называется комплексное число ò(а to b)z(t)dt= ò(а to b)x(t)dt+ iò(а to b)y(t)dt.

Отображение ¦: С®С называеься функцией комплексного переменного w=¦(z). Она отображает точки z=x+ iy плоскости (z) в точки w=u+ iv плоскости (w). Если каждая точка z имеет только один образ w=¦(z), то функция называется однозначной, если несколько образов, то многозначной. Определения предела и непрерывности функции комплексного переменного ¦(z) дословно совпадают с определениями для функции действительного переменного. Поэтому теория пределов и непрерывности переносится и на функции комплексного переменного. Если выделим у функции w=¦(z) действительную и мнимую части: w=u+ iv= ¦(z)= ¦(x+iy)= u(x,y)+ iv(x,y), то получим, что задание функции комплексного переменного w=¦(z) равносильно заданию двух действительнозначных функций действительных переменных u= u(x,y), v= v(x,y). Можно доказать, что если ¦(z)= u(x,y)+ iv(x,y), z₀=x₀+ iv₀, то [lim(z®z₀)¦(z)= A+ iB]Û [lim((x,y)®(x₀,y₀))u(x,y)= A & lim((x,y)®(x₀,y₀))v(x,y)= B]. Отсюда следует, что [lim(z®z₀)¦(z)= ¦(z₀)]Û [lim((x,y)®(x₀,y₀))u(x,y)= u(x₀,y₀) & lim((x,y)®(x₀,y₀))v(x,y)= v(x₀,y₀)], т.е. непрерывность функции комплексного переменного w=¦(z) в точке z₀ равносильна непрерывности её действительной и мнимой частей u(x,y), v(x,y) в точке (x₀,y₀).

Экспонента. w= e^z= expz= e^x(cosy+ isiny). u= Ree^z= e^xcosy, v= Jme^z= e^xsiny, |e^z|= e^x= e^Rez, Arge^z= y+2kp= Jmz+ 2kp.

1) (" z₁,z₂Î C) [e^z1+z2= e^z1e^z2], (" zÎC, "nÎN) [(e^z)ⁿ= e^nz, e^-z= 1/e^z];

2) Экспонента – периодическая функция с чисто мнимым периодом Т= 2pi: e^z+2pi= e^ze^i2p= e^z(cos2p+ isin2p)= e^z.

3) (" zÎC) [e^z¹0]: [e^z=0]Û |e^z|=0 Û e^x=0, что невозможно.

4) lim(z®¥)e^z не существует: lim(z=x®-¥)e^z= lim(x®-¥)e^x= 0, lim(z=x®+¥)e^z= lim(x®+¥)e^x= +¥ - разные пределы.

5) [u= e^xcosyÎ c(R²), v=e^xsinyÎc(R²)]Þ [w= e^zÎc(C)], при z=xÎ R (y=0) e^z совпадает с обычной показательной функцией e^x.

cosz= (e^iz+e^-iz)/2, sinz= (e^iz-e^-iz)/2i, tgz= sinz/cosz, ctg= cosz/sinz.

1) Сохраняются все известные тригонометрические формулы.

2) cosz и sinz имеют период Т=2p, tgz и ctgz – период Т=p.

3) Нули тригонометрических функций. sinz=0Û z=kp, cosz=0Û z=p/2+kp, tgz=0Û z=kp, ctgz=0Û z=p/2+ kp.

4) [e^iz, e^-izÎ c(C)]Þ [cosz, sinzÎ c(C)], [cosz, sinzÎ c(C)]Þ [tgz непрерывна при z¹p/2+kp, ctgz непрерывна при z¹kp]. При z=xÎ R (y=0) тригонометричекие функции совпадают с особыми тригонометричекими функциями действительного переменного.

Дата добавления: 2014-01-07