Основные приемы измерений

При формировании решений эксперты производят оценку предпочтений, т.е. по существу производит объективные и субъективные измерения. Для осуществления субъективных измерений применяются различные методы, к наиболее употребительным из которых относятся: ранжирование, парное сравнение, непосредственная оценка и последовательное сравнение.

При описании каждого из перечисленных методов будет предполагаться, что имеется конечное число измеряемых объектов О₁, О₂,..., О_m и сформулирован один или конечная совокупность показателей (признаков) сравнения, по которым осуществляется сравнение свойств объектов. Следовательно, и методы измерения будут различаться лишь процедурой сравнения объектов. Эта процедура включает построение отношений между объектами эмпирической системы, выбор отображающей функции и определение типа шкалы измерений. Рассмотрим все эти вопросы для каждого метода измерения.

Ранжирование представляет собой процедуру упорядочения объектов, выполняемую ЛПР или экспертом. На основе своих знаний и опыта ЛПР или эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, руководствуясь одним идя несколькими показателями сравнения. В зависимости от вида отношений между объектами возможны различные варианты упорядочения объектов. Рассмотрим эти варианты.

Пусть среди объектов нет одинаковых по сравниваемым показателям, т.е. нет эквивалентных объектов. В этом случае между объектами существует только отношение строгого порядка. В результате сравнения всех объектов по отношению строгого порядка составляется упорядоченная последовательность

O₁ O₂ O₃... O_m, (4)

где объект с первым номером является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со вторым номером менее предпочтителен, чем первый объект, но предпочтительнее всех остальных объектов и т.д.

Полученная система объектов с отношением строгого порядка при условии сравнимости всех объектов по этому отношению образует полные строгий порядок (или серию). Для этого порядка показательно существование числовой системы, элементами которой являются действительные числа, связанные между собой отношением неравенства. Это означает, что упорядочение объектов (4) соответствует упорядочение чисел

f(O₁) > f(O₂) >... > f(O_m) (5)

или обратное упорядочение

f(O₁) < f(O₂) <... < f(O_m) (6)

Соответствие последовательностей (4) и (5) можно осуществить, выбирая любые числовые представления. Единственным ограничением является монотонность преобразования. Следовательно, допустимое преобразование при переходе от одного числового представления к другому должно обладать свойством монотонности. Но таким свойством допустимого преобразования обладает шкала порядков. Поэтому ранжирование объектов есть измерение в порядковой шкале.

В практике ранжирования чаще всего применяется числовое представление последовательности (1) в виде натуральных чисел

r₁ = f(O₁) = 1, r₂ = f(O₂) = 2,..., r_m = f(O_m) = m (7)

Числа r₁, r₂,..., r_m называются рангами. Наиболее предпочтительному объекту присваивается первый ранг, второму - второй ранг и т.д.

Пусть теперь среди объектов могут быть и эквивалентные. Это означает, что кроме отношения строгого порядка между объектами возможно отношение эквивалентности. Упорядочение объектов может иметь, например, следующий вид

O₁ O₂ O₃ ~ O₄ ~ O₅ O₆... O_m-1 ~ O_m (8)

В этом упорядочении объекты О₃, O₄ и О₅ эквивалентны между собой, а О_m-1 и O_m – между собой. Упорядочение (8) образует квазисерию. Для отношения квазисерии доказано существование числовой системы с отношениями неравенства и равенства между числами, описывающими свойства объектов. Любые две числовые системы для квазисерии связаны между собой монотонным преобразованием. Следовательно, ранжирование при условии наличия эквивалентных объектов представляет собой измерение в порядковой шкале.

В практике ранжирования объектов, между которыми допускаются как отношения строгого порядка, так и эквивалентности числовое представление выбирается следующим образом. Наиболее предпочтительному объекту присваивается ранг, равный единице, второму по предпочтению – ранг, равный двум и т.д. Для эквивалентных объектов удобно с точки зрения технологии последующей обработки экспертных оценок назначать одинаковые ранги, равные среднему арифметическому значению рангов, присваиваемых одинаковым объектам. Такие ранги называют связанными рангами. Для примера упорядочения (8) при m = 10 ранги объектов О₃, О₄, О₅ будут одинаковыми и равными r₃ = г₄ = г₅ = (3+4+5) / 3 = 4. В этом же примере ранги объектов О₉ и О₁₀ также одинаковы и равны среднему арифметическому r₉ = r₁₀ = (9+10) / 2 = 9,5. Как следует из этого примера, связанные ранги могут оказаться дробными числами.

Удобство использования связанных рангов заключается в том, что сумма рангов m объектов равна сумме натуральных чисел от единицы до m. При этом любые комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму. Это обстоятельство существенно упрощает обработку результатов ранжирования при групповой экспертной оценке.

При групповом ранжировании каждый s -й эксперт присваивает каждому i -му объекту ранг r_is. В результате проведения экспертизы получается матрица рангов ||r|| размерности m ´ d, где d – число экспертов, m – число объектов (i = 1, 2,..., m; s = 1,2,..., d). Удобно представить результаты группового экспертного ранжирования в виде табл. 6.

Напомним, что ранги объектов определяют только порядок расположения объектов по показателям сравнения. Ранги как числа не дают возможности сделать вывод о том, на сколько и во сколько раз предпочтительнее один объект по сравнению с другим. Если, например, ранг объекта равен трем, то отсюда не следует делать вывод о том, что объект, имеющий ранг, равный единице, в три раза предпочтительнее, чем объект имеющий ранг, равный трем.

Достоинством ранжирования, как метода субъективного измерения, является простота осуществления процедур, не требующая какого-либо трудоемкого обучения экспертов. Недостатком ранжирования является практическая невозможность упорядочения большого числа объектов. Как показывает опыт, при числе объектов большем 15-20 эксперты затрудняются в построении ранжировки. Это объясняется тем, что в процессе ранжирования эксперт должен установить взаимосвязь между всеми объектами, рассматривая их как единую совокупность. При увеличении числа объектов количество связей между ними растет пропорционально квадрату числа объектов, т.е. значительно быстрее. Сохранение в памяти и анализ большой совокупности взаимосвязей между объектами ограничивается психологическими возможностями людей. Поэтому при ранжировании большого числа объектов эксперты могут допускать существенные ошибки.

Таблица 6

Эксперты Объекты	Э1	Э2	...	Эs	...	Эd
O1	r11	r12	...	r1s	...	r1d
O2	r21	r22	...	r2s	...	r2d
...	...	...	...	...	...	...
Oi	ri1	ri2	...	ris	...	rid
...	...	...	...	...	...	...
Om	rm1	rms	...	rms	...	rmd

Парное сравнение представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. В отличие от ранжирования, в котором осуществляется упорядочение всех объектов, парное сравнение объектов представляет собой значительно более простую задачу. При сравнении пары объектов возможно либо отношение строгого порядка, либо дополнительно к, нему отношение эквивалентности. Отсюда следует, что парное сравнение, так же как и ранжирование, есть измерение в порядковой шкале.

В результате сравнения пары объектов О_i, О_j эксперт упорядочивает эту пару, высказывая, что либо O_i > О_j, либо О_i < О_j, либо О_i ~ О_j. Выбор числового представления f(О_i) естественно произвести так: если O_i > О_j, то f (O_i) > f (О_j); если предпочтение в паре обратное, то знак неравенства заменяется на обратный, т.е. f(O_i) < f(O_j). Наконец, если объекты эквивалентны, то естественно положить, что f(O_i) = f(O_j).

В практике парного сравнения используются следующие числовые представления:

1) Если O_i > О_j, то f(О_i) = 2, f(О_j) = 0;

если О_i ~ О_j, то f(О_i) = f(О_j) = 1 (9)

2) Если O_i > О_j, то f(О_i) = 1, f(О_j) = -1;

если О_i ~ О_j, то f(О_i) = f(О_j) = 0 (10)

При использовании отношения квазипорядка применяется следующее числовое представление

Если O_i > О_j, то f(О_i) = 1, f(О_j) = 0; (11)

Результаты сравнения экспертом всех пар удобно представить в виде таблицы, столбцы и строки которой составляют объекты, а в ячейках таблицы проставляются числовые предпочтения. Для представления (4) таблица аналогична таблицам спортивных игр, например, футбола, хоккея и т.п. В табл. 7 приведен пример отображения результатов парного сравнения пяти объектов при использовании представления (9). По диагонали таблицы проставлены единицы вследствие того, что каждый объект эквивалентен самому себе.

Из табл. 7 следует, например, что объект О₁ предпочтительнее объектов О₂, О₃, О₅ и эквивалентен объекту О₄. При групповом экспертном оценивании каждый эксперт представляет результаты парного сравнения в виде таблицы.

Таблица 7

	O1	O2	O3	O4	O5
O1
O2
O3
O4
O5

Сравнение объектов во всех возможных парах не дает полного упорядочения объектов. Поэтому возникает задача ранжировки объектов по результатам их парного сравнения. Решение этой задачи возможно при определенных условиях и будет рассмотрено далее.

При числовом представлении (11) таблица парных сравнений состоит из булевых переменных 0 и 1. В табл. 8 в качестве примера приведены числовые представления в форме (11), соответствующие результатам парного сравнения, приведенным в табл. 7.

Заметим, что результаты ранжировки всегда можно представить в виде матрицы парных сравнений. Такое представление удобно для проведения обработки результатов группового ранжирования.

Непосредственная оценка представляет собой процедуры приписывания объектам числовых значений в шкале интервалов. Эксперту необходимо поставить в соответствие каждому объекту точку на определенном отрезке числовой оси.

Таблица 8

	O1	O2	O3	O4	O5
O1
O2
O3
O4
O5

Естественно потребовать, чтобы эквивалентным объектам приписывались одинаковые числа. Удобно результат приписывания объектам чисел представить графически. На рис. 9 качестве примера приведено такое представление для пяти объектов и отрезок числовой оси [0, 1]. Поскольку за начало отсчета выбрана нулевая точка, то в данном примере измерение производится в шкале отношений. Эксперт соединяет каждый объект линией с точкой числовой оси. Из рисунка следует, что числовые представления объектов равны: (О₁) =0,28; (О₂) = (О₅) = 0,75; (О₃) = 0,2; (О₄) = 0,5.

Измерения в шкале интервалов могут быть осуществлены с достаточной точностью при полной информированности экспертов о свойствах объектов. Эти условия на практике встречаются редко, поэтому для измерения применяют балльную оценку. При этом вместо непрерывного отрезка числовой оси рассматривают участки, для каждого из которых приписывается свой балл. Эксперт, приписывая объекту балл, осуществляет это с точностью до попадания линии от объекта на отрезок числовой оси. Применяются 5-, 10-, и 100-балльные шкалы.

Рис. 9. Схема представления объектов на числовой оси.

Последовательное сравнение представляет собой комплексную процедуру измерения, включающую как ранжирование, так и непосредственную оценку. При последовательном сравнении эксперт выполняет следующие операции:

а) осуществляет ранжирование объектов;

б) производит непосредственную оценку объектов на отрезке [0,1], полагая, что числовая оценка первого в ранжировке объекта равна единице, т.е. f(О₁) = 1;

в) решает, будет ли первый объект превосходить по предпочтительности все остальные объекты, вместе взятые. Если да, то эксперт увеличивает значение числовой оценки первого объекта, так чтобы она стала больше суммы числовых оценок остальных объектов, т.е. f(О₁) > åf₁(О_i). В противном случае изменяет величину f(O₁) так, чтобы она стала меньше, чем сумма оценок остальных объектов;

г) решает, будет ли второй объект предпочтительнее, чем все последующие вместе взятые объекты и изменяет f(О₂) так же, как это записано для f(О₁) в пункте в);

д) продолжает операцию сравнения предпочтительности последующих объектов и изменяет числовые оценки этих объектов в зависимости от своего решения о предпочтении.

Кроме описанной процедуры последовательного сравнения, существуют несколько ее модификаций, которые незначительно отличаются от рассмотренной выше.

Рассмотренные четыре метода измерения – ранжирование, парное сравнение, непосредственная оценка и последовательное сравнение – обладают различными качествами, но приводят к близким результатам. Экспериментальная сравнительная оценка этих методов показала, что в ряде случаев наиболее эффективным является комплексное применение всех методов для решения одной и той же задачи. При этом следует учитывать, что наиболее простым методом, требующим минимальных затрат, является ранжирование, а наиболее трудоемким для экспертов – метод последовательного сравнения. Метод парного сравнения без дополнительной обработки и выполнения ряда условий не дает полного упорядочения объектов.

Дата добавления: 2014-01-07