Определение. В антагонистической игре пара стратегий (Аi, Вj) называется равновесной или устойчивой, если ни одному из игроков не выгодно отходить от своей стратегии

Чистые и смешанные стратегии

Если в игре каждый из противников применяет только одну и ту же стратегию, то про саму игру в этом случае говорят, что она происходит в чистых стратегиях, а используемые игроком А и игроком В пара стратегий называются чистыми стратегиями.

Применять чистые стратегии имеет смысл тогда, когда игроки А и В располагают сведениями о действиях друг друга и достигнутых результатах. Если допустим, что хотя бы одна из сторон не знает о поведении противника, то идея равновесия нарушается, и игра ведется бессистемно.

В рассмотренном в §2.2 примере 1 максиминные чистые стратегии А ₄ и В ₅ неустойчивы по отношению к информации о поведении противника; они не обладают свойством равновесия.

Действительно, предположим, что мы узнали, что противник придерживается стратегии В ₃. Используя эту информацию, выберем стратегию А ₁ и получим больший выигрыш, равный 7. Но если противник узнал, что наша стратегия А ₁, он выберет стратегию В ₄, сведя наш выигрыш к 4.

Таким образом, в рассмотренном примере максиминные чистые стратегии оказались неустойчивы по отношению к информации о поведении другой стороны. Но это не всегда так.

Рассмотрим матричную игру G (3х4), платежная матрица которой приведена на рис 2.3.

Bj   Ai	B1	B2	B3	B4	a i
A1
A2
A3
b j

Рис. 2.3

В этом примере нижняя цена игры равна верхней: a=b=9, т.е. игра имеет седловую точку.

Оказывается, что в этом случае максиминные стратегии А ₂ и В ₂ будут устойчивыми по отношению к информации о поведении противника.

Действительно, пусть игрок А узнал, что противник применяет стратегию В ₂. Но и в этом случае игрок А будет по-прежнему придерживаться стратегии А ₂, потому что любое отступление от стратегии А ₂ только уменьшит выигрыш. Равным образом, информация, полученная игроком В, не заставит его отступить от своей стратегии В ₂.

Пара стратегий А ₂ и В ₂ обладает свойством устойчивости, а выигрыш (в рассматриваемом примере он равен 9), достигаемый при этой паре стратегий, оказывается седловой точкой платежной матрицы.

Дата добавления: 2014-01-07