Линейные уравнения в экономике. Модель Леонтьева

Модель Леонтьева также известна как модель «затраты – выпуск».

Балансовая модель – это система уравнений, каждое из которых выражает баланс (взаимное сопоставление) между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и общей потребностью в этой продукции. При этом экономическая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, одна часть которого потребляется объектами системы, а вторая – выводится за пределы системы в качестве её конечного продукта.

В основе модели Леонтьева лежат следующие предположения:

1. в экономической системе производятся, покупаются, продаются и инвестируются продуктов;

2. каждая отрасль производит только один продукт, совместное производство различных продуктов исключается;

3. под производственным процессом в каждой отрасли понимается преобразование некоторых (возможно, всех) типов продуктов в определённый продукт. При этом соотношение затраченных ресурсов и выпускаемого продукта предполагается постоянным. В реальности имеет место тенденция к медленному сокращению расхода ресурсов на единицу продукции (снижению энергоёмкости, материалоемкости и т.д.). Однако при решении задач текущего планирования считается, что прямые затраты ресурсов на единицу выпуска продукции являются постоянными и не зависят от масштаба производства.

Введем величины:

() – объем продукции отрасли , потребляемый отраслью за определенный период времени;

() – количество продукта отрасли , поставляемой внешним потребителям (конечный продукт);

() общий объём производства -ой отрасли (валовой выпуск);

() – цена единицы продукции - отрасли;

– прибавочная стоимость - отрасли (часть дохода, идущего на зарплату, амортизацию, инвестиции и т.д.).

Проанализируем, как распределяются материальные потоки по разным видам деятельности. Очевидно, что валовой выпуск будет складываться из количества, идущего на внутренние потребления внутри отраслей и внешнего продукта (предположения 1), 2)). Этот факт отражает балансовое уравнение

, . (1)

Уравнения (1) называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Однако, работу отрасли можно проанализировать и с точки зрения затрат на производство в данной отрасли. Тогда стоимость производства продукции -ой отрасли будет складываться из стоимости затраченных в ней продуктов всех отраслей плюс прибавочная стоимость:

, . (2)

Соотношение (2) представляет собой систему из уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.

С помощью полученных уравнений (1) и (2), можно проверить, что в межотраслевом балансе соблюдается принцип равенства материального и стоимостного состава национального дохода:

. (3)

Действительно, умножим обе части уравнения (1) на () и сложим почленно

. (*)

Просуммировав уравнения (2), получим

. (**)

Сравнивая (*) и (**), получаем соотношение (3).

Например, ограничимся четырьмя отраслями и сведем эти величины в таблицу.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
4
Прибавочная стоимость
Валовой продукт

Для дальнейшего анализа экономико-математической модели хозяйственной деятельности вводят технологическую матрицу коэффициентов прямых затрат

,

где – количество продукции -ой отрасли, потребляемое -ой отраслью для производства единицы продукции отрасли , т.е.

, . (4)

Квадратная матрица описывает внутрисистемные затраты продукции. Строки матрицы соответствуют производящим отраслям, а её столбцы – потребляющим. Нулевое значение коэффициента прямых затрат указывает на отсутствие прямых связей между конкретными отраслями. Предполагается, что среди коэффициентов матрицы прямых затрат имеются ненулевые, в противном случае никакие отрасли не связаны между собой, что лишает смысла рассмотрение их как систем.

Из (4) следует линейная зависимость затрат от уровня валового выпуска. Это означает, что при заданном уровне валового выпуска - (потребляющей) отрасли величина затрат продукции -й (производящей) отрасли определяется соотношением

, . (4’)

Тогда с учетом (4’) уравнения (1) и (2) можно записать в виде

, , (5)

, , (6)

или в матричной форме

, (5’)

. (6’)

Здесь компоненты вектора называются нормой прибавочной стоимости.

Полученные системы уравнений (5’) и (6’) представляют собой экономико-математическую модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева), или модель «затраты – выпуск».

Поскольку коэффициенты прямых затрат остаются постоянными в течение ряда лет в связи с медленным изменением технологии производства (предположение 3), то уравнения (5’) и (6’) позволяют решать следующие задачи планирования:

Задача 1.

Определить валовый выпуск отраслей по заданному конечному спросу на основе данных о технологических возможностях, воплощенных в расходных коэффициентах .

Задача 2.

Для предстоящего планового периода задается вектор норм прибавочной стоимости . Требуется спрогнозировать цены на продукцию каждой отрасли – вектор .

Для решения задач 1 и 2 уравнения (5’) и (6’) преобразуем к виду

, (7)

, (8)

где – единичная матрица.

Если матрица невырожденная, то существует единственная матрица , и тогда

, (9)

Аналогично,

. (10)

Матрица называется матрицей полных затрат. Столбцы матрицы имеют определённый экономический смысл. Столбец представляет собой нормы внутрисистемных затрат продукции отраслей для единичного выпуска -го конечного продукта.

В общем случае полные относительные затраты продукции, представленные элементами матрицы , состоят из двух частей – прямых и косвенных затрат. Прямые затраты продукции соответствуют технологическим нормам в данной отрасли и осуществляются напрямую. Косвенные затраты формируются в результате использования продукции других отраслей-посредников, в которых имеют место прямые затраты, что приводит к косвенному переносу этих затрат в продукцию конечной потребляющей отрасли. То есть, продукция отраслей посредников обеспечивает доставку в конечный продукт продукции отраслей, осуществляющих первичные затраты некоторой производящей отрасли. Причем, отраслью-посредником может выступать также и сама потребляющая отрасль.

Пример. Задана матрица прямых затрат

Определить необходимый сбалансированный валовый выпуск для обеспечения требуемого конечного выпуска

.

Решение.

Исходя из матрицы составим таблицу интенсивности внутрисистемных потоков продукции по отраслям.

Направление затрат	Интенсивность потока продукции
1-яорасль 2-я отрасль	0,1
1-яорасль 3-я отрасль	0,5
3-яорасль 2-я отрасль	0,4

Вычисляем:

;

.

Проверка:

.

Для вычисления вектора валового выпуска, сбалансированного с заданным конечным выпуском, воспользуемся формулой (9):

.

Если требуется единичный конечный продукт -й отрасли, то сбалансированный валовый выпуск совпадет с -м столбцом матрицы .

Например, требуется определить единичный конечный выпуск продукции 2-й отрасли, тогда сбалансированный валовый выпуск

Совпадает со вторым столбцом матрицы . Равенство валового и конечного выпуска продукции 2-й отрасли объясняется тем, что на производственные нужды продукция этой отрасли не затрачивается ни в одной отрасли (вторая строка технологической матрицы состоит из нулей).

Продукция 3-й отрасли выпускается в объёма 0,4 и используется во 2-й отрасли, что совпадает с соответствующим элементом матрицы прямых затрат. Валовый выпуск продукции 1-й отрасли равен 0,3 и превышает соответствующие прямые затраты на величину косвенных затрат, равных 0,2. Косвенные затраты вызываются необходимостью обеспечения валового выпуска продукции 3-й отрасли на уровне 0,4 и определяется произведением

.

Именно в таком объёме продукция 1-й отрасли затрачивается косвенно через 3-ю отрасль на выпуск единицы продукции 2-й отрасли.

Системы уравнений (5’) и (6’) являются отражением реальных экономических процессов, так что содержательный смысл могут иметь только неотрицательные значения величин и , . Поэтому возникает вопрос: при каких условиях возможны неотрицательные решения уравнений (5’) и (6’).

Имеет место следующая теорема.

Теорема (необходимое и достаточное условие продуктивности модели). Для того чтобы система ( 5’ ) с неотрицательной матрицей имела неотрицательное решение , () при любом неотрицательном векторе , необходимо и достаточно, чтобы самое большое по модулю собственное число матрицы , не превосходило единицы, т.е. .

В этом случае говорят, что матрица прямых материальных затрат будет продуктивной.

Можно доказать, что если – продуктивная матрица, то и будет продуктивной матрицей.

Данная теорема даёт возможность проверить модель Леонтьева на продуктивность, но её формулировка не имеет прямой экономической интерпретации.

На практике можно пользоваться достаточным условием продуктивности матрицы . Если технологическая матрица неразложима (т.е. не приводится к блочной с нулевым левым нижним блоком), сумма элементов каждой строки не превосходит единицы, и хотя бы для одной строки меньше 1, то эта матрица продуктивная.

Обычно считают, что и на производство любой продукции непосредственно затрачивается продукция хотя бы одного вида (матрица полуположительна). Если , то это означает, что существуют отрасли, не нуждающиеся в товарах, производимых другими отраслями, хотя, может быть передают им свои товары.

Технологическая матрица называется неразложимой, если её нельзя путём перестановок строк и столбцов привести к блочному виду

.

Из неразложимости матрицы следует, что каждая отрасль использует, хотя бы косвенно продукцию всех отраслей.

Второе условие вытекает из свойств квадратных неразложимых матриц:

· существует единственное положительное вещественное собственное число матрицы , которое не меньше модуля каждого собственного числа этой матрицы;

· число принадлежит промежутку между наименьшей и наибольшей суммами элементов строк (столбцов).

По технологической матрице можно сделать вывод о рентабельности той или иной отрасли. Если , то -я отрасль оказывается рентабельной, т.к. суммарный вклад всех отраслей в выпуск единицы продукции -ой отрасли оказывается меньше единицы.

Если продуктивная матрица, то запасом её продуктивности называется такое число , при котором матрица оказывается продуктивной при каждом , а матрица не оказывается продуктивной.

Теорема. Пусть дано некоторое число и продуктивная матрица . Тогда, матрица продуктивна, только если , – максимальное по модулю собственное значение матрицы .

Рассмотренная модель получила название статической модели межотраслевого баланса (модель Леонтьева). Основной её недостаток состоит в том, что она не учитывает динамики самой экономики (т.е. не позволяет установить связи между планами производства отраслей и планами капитальных вложений, обеспечивающих развитие этих отраслей). Существуют более сложные обобщения полученной модели, называемые динамическими моделями межотраслевого баланса.

Дата добавления: 2014-01-07