I.2.Примеры нелинейных систем управления

Покажем основные особенности нелинейных систем автоматического управления на конкретных примерах.

Пример I.1. Рассмотрим систему автоматического регулирования напряжения генератора постоянного тока (САР ГПТ) [5], схема которой приведена на рис. I.1.

Если положить ток потенциометра равным нулю, т.е. , пренебречь рассеиванием магнитных полей и влиянием тока якоря на суммарный магнитный поток, то генератор постоянного тока (ГПТ) можно описать уравнениями

Здесь , и – активные сопротивления обмотки возбуждения (ОВ), обмотки якоря и нагрузки; ,– коэффициенты пропорциональности между ЭДС самоиндукции и скоростью изменения соответствующих магнитных потоков; – скорость вращения якоря ГПТ.

Рис. I.1

Приведённые уравнения ГПТ очевидно являются нелинейными, так как содержат нелинейные функции и . Эти функции описывают зависимость магнитных потоков и от токов и . Для примера на рис. I.2 показана сплошными линиями зависимость (петля гистерезиса). Аналогичный вид имеет зависимость .

Если пренебречь гистерезисом сердечников обмоток возбуждения генератора, то зависимость магнитного потока от тока возбуждения примет вид, показанный на рис. I.2 штриховой линией. Обозначим – значение тока возбуждения при номинальном напряжении возбуждения, а – отклонение действительного значения тока от , т. е. положим .

На рис. I.2 прямой наклонной линией, которая является касательной к графику в точке , показана линеаризованная зависимость потока возбуждения от тока . На рисунке хорошо видно, что если отклонения тока малы, то линеаризованная зависимость от очень близка к нелинейной зависимости . В этом случае можно нелинейную функцию заменить линейной. Аналогично, если при этом малы и отклонения тока нагрузки от номинального значения , то можно линеаризовать и нелинейную зависимость . В результате уравнения ГПТ станут линейными.

Рис. I.2

Так как при малых отклонениях и (обычно это наблюдается в режиме стабилизации) электронный усилитель ЭУ и потенциометр можно считать линейными элементами, то в этом режиме рассматриваемая система является линейной.

При больших значениях отклонениях , как видно на рис. I.2, линейная и нелинейная зависимость различаются очень сильно и замена невозможна. Следовательно, при больших отклонениях и (например, в режиме пуска) данная система (см. рис. I.1) является существенно нелинейной.

Пример I.2. В качестве второго примера рассмотрим релейную следящую систему (РСС), схема которой показана на рис. I.3.

Рис. I.3

В этой схеме реле Р₁, Р₂ вместе с диодами V₁, V₂ и источником напряжения образуют нелинейный элемент (НЭ), который выделен штриховой линией. Его характеристика показана на рис. I.4, где через , – обозначены ток срабатывания и ток отпускания реле. Величина С равна напряжению источника.

Характеристика, приведённая на рис. I.4, является нелинейной функцией (разрывной, то есть не дифференцируемой и неоднозначной). Эту характеристику нельзя линеаризовать обычным, описанным выше способом, так как в точках разрыва производные функции по не существуют. Следовательно, рассмотренная релейная система всегда является существенно нелинейной, и для её исследования необходимо применять методы анализа нелинейных систем.

Рис. I.4

Структурную схему рассматриваемой РСС можно представить, как показано на рис. I.5. Здесь линейный элемент и сравнивающее звено – это объединение двигателя, редуктора и двух проволочных потенциометров R.

Рис. I.5

Аналогичную структурную схему можно получить и для большинства других нелинейных систем. Как видно, большая часть элементов нелинейных систем может быть описана линейными уравнениями, т. е. их можно считать линейными элементами. Лишь некоторые элементы системы являются нелинейными. Таким образом, все особенности нелинейных систем обусловлены теми нелинейными элементами, которые встречаются в их структуре. Среди нелинейных элементов (звеньев) можно выделить наиболее часто встречающиеся. Такие нелинейные элементы называются типовыми.

Рассмотрим основные свойства характеристик типовых нелинейных звеньев.

Дата добавления: 2014-01-07