I.3. Общие свойства нелинейностей. Типовые звенья

Общее обозначение нелинейных элементов или звеньев показано на рис. I.6. Здесь – характеристика нелинейного звена, т.е. зависимость его выходного сигнала от входного при очень медленном изменении последнего.

Рис. I.6

В общем случае характеристики нелинейных звеньев могут быть:

1. Симметричными. В этом случае выполняется либо условие

, либо условие . В первом случае характеристики называются нечётными, а во втором – четными.

2. Непрерывными. В этом случае в любой точке нелинейной характеристики предел справа равен пределу слева, т.е. .

3. Разрывными. В этом случае в некоторых точках нелинейности предел справа не равен пределу слева, т. е. .

4. Однозначными или многозначными. В случае двузначной характеристики говорят, что нелинейный элемент обладает гистерезисом. В общем случае нелинейные звенья с неоднозначными характеристиками ведут к более существенному изменению свойств системы.

5. Обычно, но не всегда. Например, для петли гистерезиса (см. рис. I.2) .

6. Многие нелинейности обладают насыщением.Это свойство характеризуется тем, что при больших значениях модуля входной величины модуль выходной величины нелинейного звена достигает максимального значения C, а затем перестает изменяться, т.е. остается постоянным, несмотря на увеличение входной величины. Нелинейная характеристика с насыщением (сплошная линия) показана на рис. I.7.

Рис. I.7

Аналитическое описание нелинейности с насыщением имеет вид

Насыщением обладают все реальные элементы. В частности, статическая характеристика вход-выход всех электронных усилителей имеет насыщение.

7. Важной характеристикой нелинейностей является зона нечувствительности. Характеристика с зоной нечувствительности (сплошная линия) показана на рис. I.8. Здесь интервал значений от до является зоной нечувствительности, так как в этом диапазоне изменения величины выходная величина y звена равна нулю.

Рис. I.8.

Характеристики с зоной нечувствительности могут быть описаны выражением вида:

К примеру, зону нечувствительности имеет нелинейная зависимость скорости холостого хода двигателя постоянного тока от напряжения на якоре при постоянном напряжении на обмотке возбуждения. В этом случае «величина зоны нечувствительности», т.е. величина , равна напряжению трогания, которое обусловлено моментом трения в подшипниках якоря двигателя.

Характеристики с зоной нечувствительности – одни из самых распространенных нелинейностей. Характеристикой такого типа обладает большинство датчиков. Например, проволочный потенциометрический датчик (см. рис. I.3) имеет характеристику, показанную на рис. I.9. Здесь зона нечувствительности – обусловлена толщиной витка обмотки потенциометрического датчика.

Рис. I.9 Рис. I.10

Чувствительные элементы, питаемые переменным током, тоже имеют зону нечувствительности, которая обусловлена влиянием высших гармоник.

В этом случае характеристика обычно имеет вид, показанный на рис. I.10. Когда входная величина , находиться внутри зоны нечувствительности, выходная переменная датчика является случайной величиной, среднее значение которой равно нулю

Лишь за пределами зоны нечувствительности шириной , выходная переменная датчика начинает изменяться определенным образом.

Отметим, что именно зоны нечувствительности элементов в первую очередь определяют статическую точность системы.

Рассмотрим некоторые типовые нелинейные звенья (нелинейности) и их характеристики.

Рис. I.11

Идеальное реле. Данная характеристика показана на рис. I.11 сплошными линиями.

При эта характеристика не определена. Аналитическое выражение этой характеристики имеет вид

Рис. I.12

Данной характеристикой описывается, например, поляризованное реле, схема которого показана на рис. I.12. При подаче на обмотку такого реле напряжения одной полярности магнитный поток и сила притяжения якоря к магниту уменьшаются, и замыкается верхняя пара контактов. В цепи нагрузки формируется напряжение одного знака. При подаче на обмотку реле напряжения противоположной полярности магнитный поток наоборот увеличится и замкнется нижняя пара контактов. В результате на нагрузку будет подано напряжение другого знака.

Такие элементы применяются при реализации оптимального управления. Знаковая функция является идеализацией реальных характеристик, одна из которых показана на рис. I.11 пунктирной линией.

Рис. I.13

Трехпозиционное реле. Эта характеристика имеет вид, показанный на рис. I.13.

Как видно, она является разрывной, симметричной, нечетной, однозначной. Аналитическое описание этой характеристики:

Рис. I.14

Здесь – зона нечувствительности данного реле.

При эта характеристика переходит в нелинейность – идеальное реле. Характеристику, показанную на рис. I.13, имеет схема, приведенная на рис. I.14, если принять, что ток отпускания обоих реле равен их току срабатывания (на самом деле, ток отпускания всегда меньше тока срабатывания, но не намного).

Входная переменная x представлена здесь напряжением . Зона нечувствительности определяется током срабатывания, а равно E. Если из этой схемы удалить нормально замкнутые контакты то данная схема будет описывать релейную двухпозиционную характеристику, так как значение при не будет определяться этой схемой.

Трехпозиционное реле с гистерезисом. Эта характеристика приведена на рис. I.15. Здесь интервал значений от –до является зоной нечувствительности; интервалы от до –и от до являются областью неоднозначности (областью гистерезиса).

При аналитическом описании этой характеристики необходимо учитывать не только значения величины , но и скорость её изменения. В результате получим следующее выражение:

Примером нелинейного элемента, который может быть описан данной характеристикой, является показанный на рис. I.14 релейный элемент, если ток отпускания реле считать не равным току срабатывания. Для этой схемы величина (см. рис. I.15) определяется током срабатывания, а величина – током отпускания реле.

Рис. I.15

Рис. I.16

Люфт. Эта характеристика обычно присуща механическим передачам и обусловлена зазором (люфтом) в сочленениях элементов. Она приведена на рис. I.16. Аналитическое описание её практически не используется, т. к. является очень сложным и непрактичным. Обычно оно заменяется словесным, например, следующим.

Если величина возрастает, то зависимость соответствует прямой, смещенной вправо от нуля на величину . Если же величина убывает, то зависимость соответствует прямой, смещенной влево от нуля на величину . При изменении знака скорости величины x вначале будет наблюдаться холостой ход, то есть выходная величина меняться не будет в течение времени, пока x не изменится на величину большую 2.

Рис. I.17

Характеристика люфт является неоднозначной и вносит некоторое запаздывание в работу систем управления. Она весьма отрицательно сказывается на свойствах динамических систем. Помимо уменьшения точности она может приводить к возникновению незатухающих колебаний в системе, амплитуда которых может значительно превышать «люфт». Коэффициент передачи звена типа люфт, в линейном режиме равен тангенсу угла , как показано на рис. I.16.

На рис. I.17 показана причина образования этой нелинейности в шарнирном соединении. Хорошо видно, что пока вилка, поворачиваясь вместе с ведущим валом на угол , не касается пальца, соединенного с ведомым валом, последний неподвижен, а после касания – поворачивается вместе с ведущим валом на угол .

При изменении направления вращения ведущего вала ведомый вал сначала останавливается, так как вилка отходит от пальца, а затем, после того как люфт (ширина вилки) будет выбран, ведомый вал начинает вращаться вместе с ведущим.

Кусочно-ломаная характеристика. Эта характеристика приведена на рис. I.18. Как видно, она состоит из ряда линейных участков, угол наклона которых различный. Этой характеристикой обычно описывают различные исполнительные механизмы, тиристорные или магнитные усилители и т.д.

Рис. I.18

Реальные элементы систем часто имеют характеристики, являющиеся комбинацией указанных типов нелинейностей.

Если реальная нелинейная характеристика имеет один линейный участок, то соответствующая ей типовая характеристика имеет линейный участок, проходящий под наклоном . Это связанно с тем, что значение коэффициента передачи реальной нелинейной характеристики обычно относят к линейной части системы.

Все однозначные нелинейности фактически являются безынерционными, так как имеющиеся у реальных элементов постоянные времени (например, электромагнитная постоянная обмотки реле) также относят к линейным элементам нелинейных систем. Однако, несмотря на это, многозначные нелинейные характеристики (например, с гистерезисом), вносят дополнительное запаздывание, что приводит к сдвигу фазы гармонических составляющих в разложении выходного сигнала таких элементов в ряд Фурье. Поэтому нелинейные звенья с неоднозначными статическими характеристиками фактически являются динамическими нелинейными звеньями.

Дата добавления: 2014-01-07