Вопрос 3. Метод сил. Метод сравнения деформаций

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданную статически неопределимую систему освобождают от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяют силами и моментами. Значения этих сил и моментов подбирают так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладывают на систему отброшенные связи. Таким образом, при указанном способе раскрытия статической неопределимости неизвестными оказываются силы. Отсюда и название "метод сил". Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяют и другие методы, например метод перемещений, в котором за неизвестные принимают не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.

Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 9 а, можно предложить основные системы б-е, которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 10 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах - с другой.

После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводят силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводят моменты.

Рис 10

Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать , где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные силы и моменты прикладывают как к правой, так и к левой частям системы.

На рис. 11 показано пять возможных способов приложения неизвестных сил, соответствующих задающей основной системе.

Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится понятным без дальнейших пояснений.

Рис 11

Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.

3). Канонические уравнения метода сил

Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим систему, представленную на рис. 12. Рассматривается конкретная семь раз статически неопределимая система.

Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через обозначать взаимное смещение точек системы. Первый индекс при соответствует направлению перемещения, а второй –силе, вызвавшей это перемещение.

В рассматриваемой раме в точке А отброшена опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:

Рис 12

Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х₁ а индекс (Х₁Х₂,...,Р) показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.

Аналогично можно записать:

и т.д.

Так как под величиной понимается взаимное смещение точек, то обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, - горизонтальное взаимное смещение тех же точек, - взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением в рассматриваемой системе будет также (Х₁Х₂,...,Р)

В точках А и D смещения являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.

Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений (Х₁Х₂,...,Р):

;

Аналогичным образом запишем, и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых , входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы, указанной в первом индексе, и под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, можно записать в следующем виде:

= (1)

Что касается перемещений и т. д., то под Р в индексе будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной. Поэтому величины ,… в уравнениях оставим неизменными.

Теперь уравнения примут вид:

;

;

............

;

Эти уравнения носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы.

Пример. Прямой однородный стержень (Рис. а) жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется определить наибольшие напряжения, возникающие в стержне.

Рис. а

Система, очевидно, один раз статически неопределима, поскольку две реакции опор R и R_b не могут быть определены из одного уравнения равновесия

R_A + R_B = P.

Уравнение перемещений должно выразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько удлинится верхняя часть, на столько же сократится нижняя. Следовательно, || = -|| выражая удлинения через силы и используя закон Гука, получим:

или

Ra = 2R_B.

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим:

Ra = 2/ЗР, R_B = 1/ЗР. Наибольшее напряжение _{тл х} = 2P/(3F).

Заключительная часть: напомнить тему, цели занятий, ответить на поставленные вопросы, дать задание на самостоятельную работу, самоподготовку; выдать план проведения всех видов занятий

Задание для самостоятельной работы

Изучить: конспект лекции.

1. Понятие статически неопределимых систем.

Дата добавления: 2014-01-07