Загальне рівняння поверхні другого порядку, його зведення до канонічного

ах² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0, а²+b²+c²+d²+e²+f ²¹ 0

Теорема. З допомогою повороту системи координат можна добитися щоб пропали доданки з добутками xy, xz, yz (без доведення).

Отримаємо в новій системі координат рівняння

Ах² + Вy² + Сz² + Gx + Hy + Kz + L = 0 (А²+В²+С² ¹ 0). Далі виділяємо повні квадрати окремо з x, y, z, і приходимо до знайомих рівнянь поверхонь другого порядку із зміщеним центром. Можливі такі випадки:

1. Якщо А,В,С мають однакові знаки – то еліпсоїд або Ø, або одна точка (А=В=С — сфера, Ø, або точка).

2. А,В,С – різні знаки — гіперболоїд однопорожнинний або двопорожнинний, або еліптичний конус.

3. Якщо хоча б одне з чисел А,В,С дорівнює нулю — параболоїди або циліндри.

Вправа*. Довести, що якщо В=С=0 (тобто тільки один квадрат змінної зустрічається в рівнянні поверхні) то поверхня є циліндром.

Отже, всі типи поверхонь другого порядку ми розглянули.

Приклад. Звести рівняння поверхні до канонічного, та намалювати поверхню.

3 х² - 4 y² + 5 z² - 6 x + 16 y - 30 z + Р = 0.

Це поверхня другого порядку. В рівнянні немає добутків ху, уz, xz, то треба виділяти повні квадрати окремо з кожною змінною:

3(х² -2х)-4(у²- 4y)+5(z² - 6z)+P=0

3((х-1)² -1)-4((у-2)² - 4)+5((z-3)² - 9)+P=0

3(х-1)² -3-4(у-2)² +16+5(z-3)² - 45+P=0

3(х-1)²-4(у-2)²+5(z-3)²=32-P

Випадок 1: 32-Р > 0 – однопорожнинний гіперболоїд.

Випадок 2: 32-Р < 0 – двопорожнинний гіперболоїд.

Випадок 3: 32-Р = 0 – еліптичний конус.

Нехай 32-Р=15. Тоді поділимо рівняння на 15:

(х-1)²/5-(у-2)²/3,75+(z-3)²/3=1 – однопорожнинний гіперболоїд з півосями . Центр в точці С(1; 2; 3). Один мінус перед дужкою з у, тому вісь паралельна осі Оу.

Найвужчий еліпс буде в площині у=2, його півосі а,b. Поверхня зображена на малюнку.

Дата добавления: 2014-01-07