Параметричні рівняння кривої

Інколи зручно рівняння кривих задавати чи виводити їх в декартовій системі координат за допомогою параметрів. Вводять параметр t і через нього виражають x і y -- координати точок кривої.

Параметричні рівняння кривої:

на площині

в просторі. Т – проміжок зміни параметра (ТÌℝ).

Приклад 1. Циклоїда — це крива, що описується точкою, що лежить на колі, якщо це коло котиться по прямій, без проковзування. Скласти її рівняння.

Приймемо вісь Ох як пряму, по якій котиться коло радіуса а. В початковий момент часу нехай точка на колі лежить в початку координат. Нехай коло прокотилось так, що його центр в точці О₁, а точка, за якою ми спостерігаємо, перемістилась в точку М. Позначимо через t кут, який утворює радіус О₁М з від’ємним напрямком осі Оу: Ð MО₁K=t. Дуга МК дорівнює ОК, отже ОК=аt.

Розглянемо трикутник MО₁K: МР= а cos t, О₁P= a sin t. Тоді для координат (х,у) точки М маємо: x=OK-MP= at - a cos t = a (t -cos t),

y=О₁P- О₁K= a-a sin t = a (1-sin t).

Циклоїда описується параметричними рівняннями: .

Приклад 2. Астроїда -- крива, що описується точкою, що лежить на колі з радіусом а /4, яке котиться по колу з радіусом a всередині. Скласти її рівняння.

Нехай центр нерухомого кола (з радіусом а) в початку координат. В початковий момент часу «мале» (з радіусом а /4) коло дотикається до нерухомого в точці на осі Ох з координатами (а,0). Ця точка дотику на «малому» колі і буде спостережуваною точкою. Нехай «мале» коло прокотилось так, що його центр – в точці О₁, а спостережувана точка в точці М (див. мал.). Нову точку дотику позначимо К, кут ÐО₁ОО₂ позначимо через t. Оскільки довжина дуги NK дорівнює довжині дуги МК, але радіус малого кола в 4 рази менший, то кут ÐКО₁М=4 t. З малюнка ÐКОN=ÐКО₁Р= t, тому ÐМО₁Р = 4 t - t = 3 t.

Розглянемо прямокутний трикутник МО₁Р: О₁Р= a /4 cos 3 t, PM= a /4 sin 3 t.

Тоді для координат (х,у) точки М маємо: х=ОО₂+О₁Р=3 а /4 соs t + a /4 cos 3 t,

Y=OO₃-PM=3 a /4 sin t - a /4 sin 3 t.

N

К

P M  

, бо

Аналогічно для у. Щоб пройти всю астроїду один раз достатньо взяти

Отже, – параметричні рівняння астроїди.

Можна виключити параметр t, отримаємо непараметричне рівняння астроїди:

Дата добавления: 2014-01-07