Приклад 38

Написати рівняння площини, яка проходить через початок координат і через лінію перетину двох площин, заданих рівняннями x+y-5=0 і x-2z+1=0.

Розв'язання: Шукана площина належить пучку площин, які проходять через лінію перетину даних площин. Рівняння цього пучка площин має вигляд: α(x+y-5)+β(x-2z+1)=0, причому коефіцієнти α і β визначені з точністю до пропорційності. Так як початок координат повинен належати шуканій площині, то координати точки О задовольнятиму останнє рівняння. Отримаємо: -5α+β=0. Покладемо, наприклад, α=1, тоді β=5 і рівняння 6x+y-10z=0 є рівнянням шуканої площини.

4. Геометричний зміст знака Ах+Ву+Сz+D.

Нехай в афінній системі координат (0,,) задано площину : Ах+Ву+Сz+D=0. Вона розділяє множину точок простору на два підпростори. Знайдемо умови, які визначають ці підпростори.

Зафіксуємо на площині точку і відкладемо від неї нормальний вектор площини =(А,В,С) (рис.27). Кінець вектора позначимо N. Отже, =.

Нехай M(x,y,z) довільна точка простору, яка не належить площині , Проведемо через М пряму d паралельну
до вектора , і отримаємо точку (,,) - точку перетину прямої d з . Оскільки //, то за теоремою 1 =, або в координатах: х-=A, y-=B, z-=C. Звідки х=A+, у=B+, z=C+ .Підставивши отримані змінні в многочлен Ax+By+Cz+D, отримаємо:

Ax+By+Cz+D=A(A+)+B(B+)+C(C+)+D=(A²+B²+C²) (Так як точка (,,) належить площині , то A+B+C+D=0). Нехай півпростір з границею , який містить точку N. Тоді, із рівності = =випливає, що точка М належить півпростору тоді і тільки тоді, коли >0, а оскільки А²+В²+С²>0, то точка М належить півпростору тоді і тільки тоді, коли Ах+Ву+Сz+D>0. Отже, нерівність Ax+By+Cz+D>0 визначає півпростір, обмежений площиною . Так як площина розділяє простір на два півпростори, то очевидно, що другий півпростір ' визначається нерівністю:Ax+By+Cz+D<0.

Дата добавления: 2014-01-07