Лекция №3

План лекции:

1. Метод контурных токов (ячеек)

2. Метод узловых потенциалов

3.Метод наложения (суперпозиции)

4. Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

1. Метод контурных токов (ячеек)

Порядок системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа, быстро возрастает с ростом сложности схемы, поэтому естественно желание отыскать менее трудоемкий метод анализа. Таким является метод контурных токов. Он позволяет для схемы с "к" узлами и "n" ветвями составлять и решать систему из n-(к-1) уравнений.

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных цепей. Он заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основа­нии 2-го закона Кирхгофа так называемые контурные токи. При этом исключаются уравнения 1-го закона Кирхгофа.

Для независимых контуров по 2-ому закон Кирхгофа:

Рис.3

Исключим токи внутренних ветвей, выразив их через токи внешних

Полученная система уравнений содержит три неизвестных I₁ , I₂ , I₃ , через которые могут быть затем определены I₄ и I₅.

Уравнения могут быть записаны сразу, если приписать каждой ячей­ке некоторый контурный ток, совпадающий с током внешних ветвей. Тогда в каждой ячейке алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме произведений

а) контурного тока данной ячейки на сумму сопротивлений конту-

ра;

б) контурных токов каждой смежной ячейки - на сопротивления смеж-

ных ветвей.

Правило знаков остается таким же, как и при записи уравнений 2-го закона Кирхгофа.

2. Метод узловых потенциалов

Этот метод позволяет уменьшить число уравнений Кирхгофа за счет исключения уравнений 2-го закона. На схеме принимаем потенциал точки "О" равным нулю.

Выразим токи всех ветвей, примыкающих к узлу "а" по закону Ома:

На основании 1-го закона Кирхгофа:

т.е.

.

Аналогичного вида уравнения могут быть получены для узла ‘b’, а также для любого узла более сложной схемы.

Анализ уравнений показывает, что для любого узла алгебраическая сумма произведений эдс на проводимость всех подключенных к нему ветвей равна

а) потенциалу данного узла, умноженному на сумму проводимостей подключенных к нему ветвей,

б) минус произведение потенциалов остальных узлов, умноженных каждый на сумму проводимостей ветвей, соединяющих узел с тем, для которого пишется уравнение.

Если эдс направлена к узлу, то E_kG_k входит в уравнения с "плюсом", от узла - с "минусом".

Источники тока следует учитывать в левой части уравнений с "плюсом", если они направлены к данному узлу.

Общий вид уравнений:

где:

G₁₁ - сумма проводимостей ветвей, подключенных к 1-му узлу,

G₁₂ - сумма проводимостей ветвей, соединяющих 1-й узел со 2-м.

Уравнения записываются для (n - 1) узлов и решаются, например, с помощью определителей. По полученным узловым потенциалам определяют­ся токи ветвей с помощью закона Ома.

3. Метод наложения (суперпозиции)

Пусть для некоторой электрической цепи записаны уравнения Кирх­гофа вида:

Решение системы линейных уравнений однозначно определяет токи.

Предполагая поочередно в этой же цепи наличие только одной эдс при прочих равных нулю, можно для каждой эдс вычислить соответствующие токи ветвей, составив уравнения:

для Е₁,

для Е₂.

и так далее.

Сложив уравнения почленно, получим:

Полученная система имеет единственное решение для неизвестных

и т.д.

Из сравнения исходных уравнений и только что полученных следует, что решения должны совпадать, т.е.

Таким образом, ток каждой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, образованных действием каждой эдс в отдельности (принцип на­ложения).

На этом основан расчет цепей методом наложения.

Напряжение на участке цепи с сопротивлением R:

т.е. принцип наложения применим и к напряжениям.

Принцип наложения применим также и к источникам тока. При этом остальные источники тока отключаются.

Принцип наложения не применяется для мощностей - квадратичных функций токов и напряжений.

4. Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Метод эквивалентного генератора используется в тех случаях, когда требуется определить ток в какой-либо ветви сложной схемы, а также исследовать, как будет меняться этот ток при изменении сопротивления ветви. Суть метода состоит с том, что действие всей схемы на исследуемую ветвь заменяется действием некоторого эквивалентного источника ЭДС Еэк с внутренним сопротивлением Rэк.

Для полученной схемы ток I определяется из закона Ома:

Следовательно задача распадается на две подзадачи: определение Еэк и определение Rэк.

а) Определение Еэк.

Для того, чтобы найти Еэк достаточно разомкнуть исследуемую ветвь и замерить или вычислить напряжение между точками "а" и "в" - Uав, т.к.при разомкнутой ветви Еэк = Uав хх,

б) Определение Rэк.

Rэк это внутреннее сопротивление всей схемы со стороны клемм "а" и "в". Для определения Rэк надо положить равным нулю все ЭДС и вычислить Rэк, используя правила преобразования пассивных цепей.

Пример:

Определить ток I3, используя метод эквивалентного генератора. а) Размыкаем исследуемую ветвь и вычисляем напряжение на ее концах Uав Для этого произведем расчет вновь полученной одноконтурной цепи, определив сначала ток а за- тем напряжение Uав, используя 2-ой закон Кирхгофа (либо закон Ома для активного участка цепи).

Откуда

б) Вычисляем

Дата добавления: 2014-01-07