Однородные функции в полярной системе координат

Для однородных функций выполняется теорема Эйлера. По теореме Эйлера для v(x, z) выполняется равенство:

(4.9)

Преобразуем это уравнение к полярным координатам. Соотношение полярных и декартовых координат определяется формулами:

r = √x² + z² x = r cos φ (4.10)

φ = arctg (z/x) z = r sin φ

Тогда

Учитывая (21), получим

Подставим в уравнение Эйлера полученные равенства:

Или

∂ v /∂ ln r = m v (4.11)

∂ ln v / ∂ ln r = m (4.12)

В последнем уравнении присутствует частная производная, поэтому при интегрировании нужно прибавить некоторую произвольную функцию другой независимой переменной. Получим:

ln (v) = m ln (r) + f (φ), (4.13)

Так как f(φ) - произвольная функция,

(4.14)

Переменные разделились. Таким образом, мы получили произведение двух функций - степенной функции радиальной координаты и произвольной функции полярного угла.

Дата добавления: 2014-01-07