Базис на плоскости и в пространстве

Линейная зависимость векторов.

Условие коллинеарности двух векторов. Орт вектора.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Линейные операции: сложение, вычитание, умножение вектора на действительное число.

Суммой векторов и называют вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора:

правило треугольника правило параллелограмма

d

e₁

а

Правило многоугольника

      +  

Если начало вектора совпадает с точкой его конца, то такой вектор называется нулевым.

В частности:

Свойства операции сложения

1) (коммутативность)

2) (ассоциативность)

РАЗНОСТЬЮ двух векторов и называют такой вектор, который в сумме с вектором даёт вектор.

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ вектора ā на действительное число называется вектор, коллинеарный вектору ā и имеющий длину, равную и направление: или совпадающее с направлением вектора ā (если) или ему противоположное (если)

· Если,, то - вектор есть вектор растянутый в раз

· Если, то - вектор ā сжатый в раз и обратно направленный.

· Если, то - вектор ā растянутый в раз и обратно направленный.

· Если, то - вектор ā сжатый в раз и обратно направленный.

Свойства операций

1. – дистрибутивность относительно суммы векторов

2. –дистрибутивность относительно суммы чисел

3. –ассоциативность числовых сомножителей

ТЕОРЕМА 1: Векторы и коллинеарны когда существует такое число, что имеет место равенство:.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Здесь и в дальнейшем будем считать, что необходимость в теореме обозначаем символом, а достаточность символом:. Необходимость и достаточность символом:

Пусть, необходимо доказать.

Если, то приводя к одному началу данные вектора, получим:

Если векторы ненулевые имеем два случая (см. рисунок):

1) одинаково направлены:, откуда следует, что, т.е.

2) разнонаправлены: в этом случае аналогично.

(Достаточность) Пусть, покажем, что. Так как, то коллинеарность следует вследствие свойств умножения вектора на число.

· Если вектор имеет при выбранном масштабе длину, равную единице, то он называется единичным вектором или ортом, т.е. или:.

ПРИМЕР:

Каким условиям должны удовлетворять вектора и, чтобы вектор делил угол между ними пополам?

РЕШЕНИЕ: этот вектор – это диагональ параллелограмма, построенного на и. Но диагональ делит угол пополам лишь в случае, если параллелограмм – есть ромб. Откуда следует что.

Линейной комбинацией векторов называется сумма:

, где - произвольные действительные числа.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие вещественные числа одновременно не равные нулю такие что

· Если векторы не являются линейно зависимыми, то они линейно линейно независимы

Дата добавления: 2014-01-07