Разложение вектора на базис. Координаты вектора в базисе. Декартовая система координат. Проекция вектора на ось

Условие линейной зависимости и линейной независимости векторов на плоскости и в пространстве

Свойства линейно зависимой совокупности векторов.

Свойство 1: Если среди векторов есть нулевой вектор, то эта совокупность является линейно зависимой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть, тогда очевидно что:

СЛЕДСТВИЕ 1: Линейно независимая совокупность векторов не может содержать нулевого вектора.

Свойство 2: Если к линейно зависимой совокупности векторов присоединить несколько векторов, то расширенная совокупность векторов также линейно зависима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть совокупность векторов - линейно зависимая;

Т.е. существуют числа: одновременно не равные нулю: такая, что

Рассмотрим линейную комбинацию:

В которой даже если все, но значит расширенная совокупность линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ 2: Любая часть линейно независимой совокупности векторов является линейно независимой.

ТЕОРЕМА 2: Два вектора линейно зависимы они коллинеарны

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть a и b линейно зависимы. По определению

Существуют:. Пусть или, что и означает, что.

(Достаточность) П., это означает, что. Составим линейную комбинацию: при этом: при этом:.

СЛЕДСТВИЕ 1: Если векторы и не коллинеарны, то они линейно независимы.

СЛЕДСТВИЕ 2: Среди двух не коллинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

ТЕОРЕМА 3: Три вектора линейно зависимы они коллинеарны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть – линейно зависимы.. Пусть., т.е. вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. Это означает, что они лежат в одной плоскости.

Пусть – лежат в одной плоскости. Возможны случаи:

а) среди этих векторов есть нулевой вектор тогда они линейно зависимы

б) – ненулевые, но какая-то пара из них коллинеарны линейная зависимость

в) пусть – ненулевые и среди них нет коллинеарных.

Тогда приведём их к общему началу

Тогда, т.е. линейно зависимы.

Следствие: Если векторы не компланарны, то они линейно независимы.

ТЕОРЕМА 4: Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Возможны ситуации:

· Из 4-х векторов, 3-компланарные, тогда все 4 вектора линейно зависимы.

· Из 4-х хотя бы один нулевой, тогда все 4 линейно зависимы.

· Все 4 – ненулевые и никакие три из них не компланарные

Рассмотрим последний случай. Приведём их всех к одному началу.

Тогда

т.е. – линейно зависимы.

СЛЕДСТВИЕ: Каковы бы ни были три некомпланарных вектора для любого вектора существуют:.

Вышеуказанные равенства о представлении любого вектора, лежащего в одной плоскости с неколлинеарными векторами и в виде их линейной комбинации:

,

а также для некомпланарных векторов:

Имеют своё значение.

· Пусть L – некоторое множество векторов. Совокупность векторов называется базисом на множестве L, если выполнены следующие условия:

1) Векторы - линейно независимы

2) Любой вектор можно расположить по векторам:

3) Векторы – упорядочены.

· При этом выражение называется разложением вектора по базису.

· Числа называются координатами вектора в данном базисе

ТЕОРЕМА 5: Разложение любого вектора по данному базису единственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть имеются два различных разложения:

Вычитая, получим:

Но по определению базиса, векторы – линейно независимы. Тогда должны быть выполнены условия:, т.е. разложение единственно.

ТЕОРЕМА 6: При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. При умножении вектора на число, координаты вектора умножаются на это же число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть

Осью называется прямая, на которой выбрано положительное направление и единица длины (масштаб)

ДЕКАРТОВАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.

Геометрическое построение разложения вектора по базису на плоскости или в пространстве приводит к построению параллелограммов или параллелепипедов.

Естественным становится выбор в качестве базисных векторов – вектора, которые попарно перпендикулярны и имеют длины, равные единице.

Т.е. и, векторы – упорядочены. Тогда орты образуют базис декартовой системы координат.

Правая система координат

Левая система координат

Дата добавления: 2014-01-07