Свойства фундаментальной последовательности

Теорема 1. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {x_n} – фундаментальная последовательность. Покажем, что

Т.к. {x_n} – фундаментальная последовательность, то

e>0 N=N(e):

Возьмем e=1, тогда =1

В частности,

Если , то

Положим С=, тогда n=1,2,…, т.е. фундаментальная последовательность ограниченна. ч.т.д.

Теорема 2. (Критерий Коши) (Критерий – необходимое и достаточное условие – сходимости).

Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство.

1. Необходимость. Дано: {x_n}-сходящаяся, x_n→a, n→¥.

Доказать, что {x_n}- фундаментальная.

Рассмотрим (1)

Т.к. {x_n}-сходящаяся, то возьмем e>0, тогда

Если n, m³N, то виду (1) имеем ч.т.д.

2. Достаточность. Дано: {x_n}- фундаментальная, доказать, что {x_n}- сходящаяся.

Т.к. {x_n}-фундаментальна, то она ограничена.

Пусть I₁ – наименьший отрезок, содержащий все члены последовательности.

I₂ – наименьший отрезок, содержащий все члены {x_n}, начиная со 2-го: х₂, х₃,…

И.т.д.

I_k - наименьший отрезок, содержащий все члены {x_n}, начиная с k-го x_k,x_k+1,…

И т.д.

Тогда I₁ÉI₂ÉI₃É….

Согласно лемме о вложенных отрезках, найдется точка а, принадлежащая всем этим отрезкам:

Т.к. {x_n}- фундаментальная, то возьмем e>0, тогда

В частности, если m=N, то .

В частности это означает, что в интервал попадает отрезок I_N (т.е. элементы x_n ).

Т.о. имеем, что точка а и все члены последовательности для содержатся в интервале длины e, т.е. , т.е. x_n→a, n→¥. Ч.т.д.

Примеры (с.71 и с.73)

1) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности {x_n}, где x_n=1+++…+.

Доказательство. Возьмем e>0 и рассмотрим разность . Имеем

==++…+<++

+…+=+++…+=

=-<

Т.о. получили, что "pÎN <.

Рассмотрим неравенство <eÞn>. Положим N=, тогда "n>N будет <e, следовательно, "n>N и "pÎN <e.

Следовательно, данная последовательность сходится. Ч.т.д.

2) Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности {x_n}, где x_n=1+++…+.

Доказательство. Возьмем любое e, удовлетворяющее условию 0<e<и рассмотрим разность . Имеем

=++…+.

В правой части р слагаемых, - наименьшее из этих слагаемых. Если каждое слагаемое в правой части заменить на наименьшее, то получим >, откуда при p=n будем иметь >>e "n. Следовательно, {x_n} расходится. Ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07