Неинерциальные системы отсчета. Элементы СТО

ЛЕКЦИЯ 1.5

Понятие об неинерциальных системах отсчета. При формулировке законов Ньютона мы отметили, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета. Любая неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной с некоторым ускорением. Обозначим это ускорение символом . Если ускорение тела в неинерциальной системе отсчета обозначить через , то ускорение тела в инерциальной системе отсчета можно представить в виде

. (1)

Согласно второму закону Ньютона движение тела в инерциальной системе отсчета с ускорением означает, что на тело действует сила

. (2)

С учетом (2) соотношение (1) можно записать в виде

, (3)

или

. (4)

Из (3) видно, что в неинерциальной системе отсчета даже при условии, что , тело будет иметь ускорение . Рассматривая соотношение (4), можно заметить, что ему можно придать вид, идентичный второму закону Ньютона:

, (5)

где

(6)

есть так называемая сила инерции. Из (6) видно, что сила инерции противоположна по направлению ускорению , с которым неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной системы отсчета.

Пример с равномерным и равноускоренным движением вагона с подвешенным к его потолку шариком.

Важно понимать, что сила инерции является фиктивной. Фиктивность здесь надо понимать в том смысле, что возникающая сила не является ни результатом непосредственного воздействия одного тела на другое при механическом контакте, ни результатом воздействия одного тела на другое посредством какого-либо силового поля (например, гравитационного или электростатического). Действительно, движение вагона с ускорением как мы только что увидели приводит к изменению состояния движения шарика на нити: шарик отклоняется. Однако при этом непосредственно на шарик никаких дополнительных сил, кроме уже имевшихся силы гравитационного притяжения и силы натяжения нити, не действует. Таким образом, сила инерции не подпадает под данное нами ранее определение понятия силы, используемое в механике.

Центробежная сила инерции. Рассмотрим стержень, вращающийся с постоянной угловой скоростью вкруг вертикальной оси , проходящей через конец стержня. На стрежень надета пружина закрепленная одним концом в точке О, на другой конец которой надет маленький шарик, массой m (см. рис. 1). При вращении пружина растянется на некоторую величину, при этом на шарик будет действовать сила упругости , которая согласно второму закону Ньютона будет равна

,

где R – радиус-вектор, проведенный из начала координат инерциальной системы отсчета в центр шарика. В системе отсчета , связанной со стрежнем шарик покоится. Однако сила очевидно будет действовать на него и в этой системе отсчета. Нахождение шарика в состоянии покоя можно формально объяснить, введя силу инерции

, (7)

направленную противоположно силе упругости вдоль стержня. Такую силу, возникающую в системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной системы отсчета, называют центробежной силой инерции.

Элементы специальной теории относительности (СТО).

1. Механический принцип относительности Галилея. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К', движущиеся друг относительно друга со скоростью . Условимся, что система К покоится, а система К' движется относительно нее со скоростью в некотором направлении (см. рис. 2). Принцип преобразования скоростей Галилея основан на двух аксиомах:

1) величина временного интервала между двумя событиями инвариантна (не зависит) от выбора инерциальной системы отсчета, иначе говоря скорость течения времени одинакова во всех инерциальных системах отсчета;

2) расстояние между двумя точками инвариантно относительно любой инерциальной системы отсчета.

Основываясь на этих принципах из рис. 2 легко видеть, что

.

Дифференцируя данное соотношение по времени, найдем

. (8)

Соотношение (8) выражает в математической форме принцип преобразования скоростей Галилея.

Заметим, что второй и третий законы Ньютона оказываются инвариантными относительно инерциальных систем отсчета. Таким образом, в классической ньютоновской механике справедлив механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы механики инвариантны относительно инерциальных систем отсчета.

2. Постулаты и основные соотношения специальной теории относительности. В основу специальной теории относительности, разработанной Эйнштейном, положены два постулата, которые являются обобщением экспериментально установленных закономерностей.

Постулат первый (принцип относительности Эйнштейна): в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково.

Постулат второй (принцип инвариантности скорости света): скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

3. Преобразования Лоренца. Из постулатов специальной теории относительности, а также из однородности и изотропности пространства и однородности времени следует, что связь между координатами и временем в двух инерциальных системах отсчета К и К' будет описываться не преобразованиями Галилея, а преобразованиями Лоренца. Для простоты изложения примем, что система К' движется относительно системы К только вдоль оси ОХ, т.е. скорость V системы К' совпадает по направлению с этой осью. Тогда преобразование координат точки М из системы К в систему К' имеет вид

, (9)

. (10)

Преобразование для времени будет иметь вид

. (11)

4. Относительность длин и промежутков времени. Из полученных соотношений вытекает, что интервалы времени между одними и теми же событиями, а также расстояния между двумя точками в двух инерциальных системах отсчета различны. Действительно из (9) и (10) следует, что

и

.

Введя обозначения и , получим

.

Таким образом, для наблюдателя, находящегося в системе отсчета К, расстояние между двумя точками, движущимися относительно этой системы со скоростью V, будет видеться меньшим, чем для наблюдателя в системе К', относительно которого эти точки покоятся. В таком случае говорят, что происходит релятивистское сокращение длины.

Анализируя соотношение (11) можно заметить, что

.

Вводя обозначения и , получим

.

Таким образом, в условно неподвижной системе отсчета К промежуток времени между двумя событиями оказывается больше, чем в системе К'. при этом для наблюдателя в системе К' скорость течения времени как бы замедляется (по отношению к наблюдателю в системе К). В таком случае говорят о релятивистском замедлении хода времени.

5. Преобразование скоростей. Получим на основе (9) – (11) соотношения для скоростей движения точки в системах К и К'. По определению

,

.

Заметим, кроме того, что

.

Проводя дифференцирование, получим

, (12)

, (13)

. (14)

Действуя аналогично, получим

, (15)

, (16)

. (17)

Релятивистские выражения для импульса и кинетической энергии. Энергия покоя. Уравнения Ньютона оказываются не инвариантными относительно преобразований Лоренца. Релятивистское выражение для импульса частицы, движущейся со скоростью принимает вид

, (18)

где . Выражению (18) можно придать классический вид:

.

Величины и называют релятивистской массой и массой покоя соответственно.

Выражение для кинетической энергии тела получим из следующих соображений. Запишем второй закон Ньютона:

.

Умножим это соотношение слева на , а справа на , получим

.

Как мы уже установили, работа внешних сил над телом, затрачивается на изменение его кинетической энергии . Перепишем левую часть полученного соотношения в виде

Проинтегрировав последнее соотношение, получим

. (19)

Для нахождения константы используем условие , получим

,

откуда . Тогда соотношение (19) принимает вид

. (20)

Анализ выражения (20) применительно к системе из N взаимодействующих частиц в отсутствие силового поля, показывает, что сумма кинетических энергий частиц не остается постоянной. Этот факт указывает на то, что в отсутствие потенциальных сил выражение (20) не является эквивалентным полной энергии частицы . Можно показать, что выражение для полной энергии частицы должно записываться в виде

. (21)

Входящая в (21) величина называется энергией покоя частицы.

Соотношение (21) можно также записать в форме

.

Дата добавления: 2014-01-07