Зависимые и независимые случайные величины

Определение. Случайные величины и называются независимыми, если условные законы любой из них совпадают с безусловными:

для дискретных случайных величин

, т.е. ,

для непрерывных

, т.е. .

Таким образом, плотность вероятности совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих. Это условие является не только необходимым, но и достаточным для непрерывных случайных величин. Точнее, имеет место следующая теорема.

Теорема (критерий независимости случайных величин). Для того, чтобы случайные величины и были независимыми необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:

.

Кроме того, для непрерывных величин это условие равносильно следующему

.

(Доказательство см. в [1].)

Для независимых случайных величин , т.е. функция регрессии , , т.е. функция регрессии , а значит, линии регрессии −прямые, параллельные координатным осям.

Пример. Задана плотность вероятности совместного распределения системы

Найдем

.

.

Мы видим, что , т.е. случайные величины и являются независимыми.

Дата добавления: 2014-01-07