Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 11 . Формула Тейлора




П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.

ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,

.

ПРИМЕРЫ Доказать, что

(1) (2)

(3) (4)

(5)

ДОК. По индукции. (3) 1) при n = 1

2) предположение . Тогда .

ПРИМЕР. Найти вторую производную функции, заданной параметрически:, . .

ОПР. Дифференциалом второго порядка функции , называют дифференциал от первого дифференциала. В общем случае,

.

Так

.

В общем случае,

ПРИМЕР. Форма второго дифференциала не инвариантна.

ДОК. Если сложная функция получена композицией функций и , то и .

Если y – независимая переменная, то , т.е. форма второго дифференциала неизменна, если , в остальных случаях при переходе к сложной функции второй дифференциал изменяет свою форму.

ПРИМЕР. (Бином Ньютона)

Найдем коэффициенты многочлена .

Заметим, что -

коэффициенты бинома Ньютона. Тогда

.

П.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения.

ПРИМЕР. ( многочлен Тейлора)

Для каждой функции , имеющей n производных в точке , можно написать многочлен Тейлора: .

Заметим, что многочлен бинома Ньютона является многочленом Тейлора функции в точке . Разность называют остатком формулы Тейлора. Отметим некоторые свойства функции :

1) , поскольку .

2) , для т.к. .

3) .

ТЕОРЕМА 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Если существует производная,то.

ДОК. Применим правило Лопиталя для вычисления предела:

.

П. 3 Формулы Тейлора для основных элементарных функций.()

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) ,

(6) ,

(7)

ДОК. (2)

.

(3) , ,

,

(1)

(4) ,, ,.

П.4 Формула для эквивалентной бесконечно малой функции.

 

ТЕОРЕМА 2.

Пусть бесконечно малая функция в точке и ее производные существуют в точке до порядка n , причем , а . Тогда

~ .

ДОК. По формуле Тейлора =.

П.5 Таблица (расширенная) эквивалентностей элементарных функций. .

(1) ~ (2) ~

(3) ~ (4) ~

(5) ~ (6) ~

(7) ~ (8) ~

ДОК. (3) , , .

(4) ,,

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически.

2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

3) Формула Тейлора для элементарных функций

(с доказательством).

4) Формула для эквивалентной бесконечно малой функции. Таблица эквивалентностей.

 





Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 593; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.