Лекция 11 . Формула Тейлора

П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.

ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,

.

ПРИМЕРЫ Доказать, что

(1) (2)

(3) (4)

(5)

ДОК. По индукции. (3) 1) при n = 1

2) предположение . Тогда .

ПРИМЕР. Найти вторую производную функции, заданной параметрически:, . .

ОПР. Дифференциалом второго порядка функции, называют дифференциал от первого дифференциала. В общем случае,

.

Так

.

В общем случае,

ПРИМЕР. Форма второго дифференциала не инвариантна.

ДОК. Если сложная функция получена композицией функций и , то и .

Если y – независимая переменная, то , т.е. форма второго дифференциала неизменна, если , в остальных случаях при переходе к сложной функции второй дифференциал изменяет свою форму.

ПРИМЕР. (Бином Ньютона)

Найдем коэффициенты многочлена .

Заметим, что -

коэффициенты бинома Ньютона. Тогда

.

П.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения.

ПРИМЕР. (многочлен Тейлора)

Для каждой функции , имеющей n производных в точке , можно написать многочлен Тейлора: .

Заметим, что многочлен бинома Ньютона является многочленом Тейлора функции в точке . Разность называют остатком формулы Тейлора. Отметим некоторые свойства функции :

1) , поскольку .

2) , для т.к. .

3) .

ТЕОРЕМА 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Если существует производная,то.

ДОК. Применим правило Лопиталя для вычисления предела:

.

П. 3 Формулы Тейлора для основных элементарных функций.()

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) ,

(6) ,

(7)

ДОК. (2)

.

(3) , ,

,

(1)

(4) ,, ,.

П.4 Формула для эквивалентной бесконечно малой функции.

ТЕОРЕМА 2.

Пусть бесконечно малая функция в точке и ее производные существуют в точке до порядка n, причем , а . Тогда

~ .

ДОК. По формуле Тейлора =.

П.5 Таблица (расширенная) эквивалентностей элементарных функций. .

(1) ~ (2) ~

(3) ~ (4) ~

(5) ~ (6) ~

(7) ~ (8) ~

ДОК. (3) , , .

(4) ,,

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически.

2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

3) Формула Тейлора для элементарных функций

(с доказательством).

4) Формула для эквивалентной бесконечно малой функции. Таблица эквивалентностей.

Дата добавления: 2014-01-07