Формулы Лиувиля – Остроградского

Нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с использованием

Пусть дано ЛОДУ второго порядка, записанного в канонической форме и известно одно его частное решение:

- известное частное решение.

Введём новую неизвестную функцию , положив -решение ЛОДУ.

Подставим предполагаемое решение в данное ЛОДУ и проведём некоторые преобразования:

Вторая скобка в последнем равенстве равна нулю, так как представляет из себя результат подстановки в ЛОДУ его же частного решения. Поэтому будем иметь:

(72)

Порядок уравнения (72) может быть понижен на единицу, так как в его составе в явном виде отсутствует неизвестная функция . Полагаем тогда . Здесь - новая неизвестная функция. В новой переменной уравнение (72) примет вид: - уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решаем его:

Решение исходного ЛОДУ примет вид:

Здесь второе частное решение найдено по формуле Лиувиля – Остроградского:

(73)

Дата добавления: 2014-01-07