Второе уравнение Максвелла

(6.1) Физический смысл этого уравнения состоит в том, что всякое изменение магнитного поля во времени () в какой либо точке поля возбуждает вихрь или ротор электрического поля () в той же точке поля, т.е. вызывает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона электрической индукции.

Чтобы убедиться в этом, мысленно возьмем некоторый замкнуты контур, расположенный в переменном электрическом поле. Переменный магнитный поток, пронизывающий контур, наведет в нем ЭДС.

, где Ф - магнитный поток (поток магнитной индукции). Если магнитное поле однородное, то Ф через плоскую поверхность с площадью S, равен ,

но , поэтому , причем площадка опирается на контур .

На основании теории Стокса , поэтому .

Это равенство должно выполняться при любых площадях S, то возможно только в том случае, когда равны подынтегральные функции обоих интегралов, следовательно .

Знак «минус» в данной форме, как и в формуле , объясняется тем, что в основу положено правило правого винта (правилом буравчика). Если завинчивать правый винт так, что положительное направление вектора магнитной индукции в некоторой точке пространства при возрастании индукции в этой точке совпадает с направлением острия винта, то положительное направление для вектора напряженности электрического поля при составлении циркуляции вектора бесконечно малого контура, окружающего эту точку и лежащего в плоскости, перпендикулярно вектору , совпадает с направлением вращения головки винта. Знак «минус» в правой части уравнения (6.1) поставлен для того, чтобы привести в соответствие действительное направление для при оговоренных ранее условиях с направлением, принятым для за положительное.

Как в первом, так и во втором уравнение Максвелла участвуют частные (не полные)

производные во времени. Это объясняется тем, что уравнения Максвелла записаны для таких тел и контуров, которые неподвижны к выбранной системе координат.

В переменном электромагнитном поле кроме силовых линий электрического поля, «начинающихся» и «оканчивающихся» на электрических зарядах (как в электростатическом поле) могу быть и замкнутые на себе силовые линии электростатического поля, охватывающие замкнутые на себя силовые линии магнитного поля.

7 .Уравнение Максвелла в комплексной форме записи.

Уравнение 2.1 и 6.1 записаны для мгновенных значений Н и Е. Если Н и Е изменяются во времени синусоидально, то можно воспользоваться символическим методом и записать эти уравнения в комплексной форме. Т.к. и , в соответствии с формулой Эйлером:

можно записать , где - мнимая часть или условно, , где комплексная амплитуда . Аналогично (значок соответствия).

Т.к. напряженности Е и Н, кроме того, что они меняются во времени по синусоидальному закону являются функциями векторными, т.е. определенным образом ориентированными в пространстве векторам, то над ними ставят черточку и точку: и .

Черточка означает, что речь идет о векторе в пространстве, точка - о том, что проекция этого вектора на любую из координатных осей, во времени изменяется синусоидально.

Тогда можно заменить на , где - удельная проводимость, характеризующая свойство среды проводить ток, зависит от физических свойств проводящего материала и температуры. Измеряется в

Так как (как постоянную величину можно вынести за знак ротора). После преобразования первое уравнение Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:

Соответственно второе уравнение Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:

8.Построить линии уровня плоских скалярных полей: 1) 2) 3) , соответствующее значениям u=1,2,3,4,5.

Скалярным полем называется плоская или пространственная область с каждой точкой М с которой связанно определенное значение некоторой скалярной физической величины U=U(М).

Задание скалярной величины и равносильно заданию скалярной (числовой) функции U(M).Функция U(M), определяющая плоское скалярное поле, как функция точки М(х,у), зависит от двух переменных U=u(х,у).

Линией уровня плоского скалярного поля называют совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения.

Линия уровня, во всех точках которых функция поля U(х,у) имеет одно и тоже значении С, определяется уравнением U(х,у)=С; различным постоянным значениям ,,…функции поля соответствуют различные линии уровня: U(х,у) =, U(х,у) =, U(х,у) =

Решение:

1)Пологая U=1,2,3,4,5,получим уравнения соответствующих линий уровня: х+у=1, х+у=2,

х+у=3, х+у=4, х+у=5. Построив эти линии в прямоугольной системе координат ХОУ, получим прямые параллельные биссектрисе 2-го и 4-го координатных углов, которые и являются геометрической интерпретацией линий уровня скалярного поля.

2)Написав уравнения линий уровня: ; (=1;=2;=3;=4; =5) построив их в плоскости ХОУ получим окружности с радиусом R с центром в начале координат(R=1;1,4;1,7;2;2,2)

3) Линии уровня: ,,,,представляют собой параболы симметричные оси ОУ с общей вершиной в начале координат.

9.Найти производную функцию в точке М(3,4):

Дата добавления: 2014-01-07