Нахождение эмпирических формул. Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов

Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов

На практике часто зависимость между двумя величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем, в результате наблюдений или статистической обработки:

x	x 1	x 2	…	xi	…	xn
y	y 1	y 2	…	yi	…	yn

Во многих случаях удобно представить зависимость между этими величинами с помощью формулы.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.

1) установление вида зависимости y = f (x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);

2) определение неизвестных параметров функции.

Наиболее часто для нахождения неизвестных параметров применяется метод наименьших квадратов, заключающийся в том, что бы было минимальным выражение

.

Рассмотрим случай, когда зависимость является линейной, т.е. y = f (x) есть линейная функция y=ax+b с неизвестными параметрами a, b.

Для этого необходимо найти наименьшее значение функции двух переменных

.

По необходимому условию экстремума функции двух переменных

, т.е. ,

или .

Эта система называется системой нормальных уравнений.

Определитель этой системы >0. Это можно доказать методом математической индукции. Следовательно, система имеет единственное решение.

Также можно доказать, что это решение является точкой минимума функции S (a, b).

Дата добавления: 2014-01-07