Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Тема 13. Дифференциальные уравнения

ЛЕКЦИЯ 13

Тема 12. Геометрические приложения определенного интеграла

ПЛАН

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

2. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения.

Определение 1. Криволинейной трапецией, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке , называется фигура, ограниченная отрезком оси абсцисс, отрезками прямых , и графиком функции на .

Введем далее понятие площади такой фигуры и одновременно правило ее вычисления.

1. Разобьем отрезок точками на частичные отрезки.

2. В каждом отрезке (где k =1,2,..., n) выберем произвольную точку .

3. Вычислим площади прямоугольников, у которых основания есть отрезки оси абсцисс, а высоты имеют длины . Тогда площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, равна .

Заметим, что чем меньше длины частичных отрезков, тем более ступенчатая фигура по расположению близка к данной криволинейной трапеции. Поэтому естественно дать следующее определение.

Определение 2. Площадью криволинейной трапеции, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке , называется предел (при стремлении к 0 длин всех частичных отрезков) площадей ступенчатых фигур, если:

1) этот предел существует и конечен;

2) не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки;

3) не зависит от выбора точек .

Теорема 1. Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , то криволинейная трапеция F, порожденная графиком функции f на , имеет площадь, которая вычисляется по формуле .

С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур и более сложного вида.

Если f и g - непрерывные и неотрицательные на отрезке функции, причем для всех x из отрезка выполняется неравенство , то площадь фигуры F,ограниченной прямыми , и графиками функций , , вычисляется по формуле .

Замечание. Если отбросить условие неотрицательности функций f и g, последняя формула остается верной.

Дата добавления: 2014-01-07