Определение числового ряда. Сходимость числового ряда

Тема 14. Числовые ряды

ПЛАН

1. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.

2. Признаки сравнения и признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.

3. Интегральный признак сходимости числовых рядов.

4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Определение 1. Если члены числовой последовательности (a_n) соединить знаком «+», то полученное формальное выражение а ₁+ а ₂+ а ₃+ … + a_n + … называется числовым рядом.

Числовой ряд будем также записывать символом или просто . Число а_n называется n- м или общим членом ряда.

Договоримся, что если некоторые члены ряда имеют отрицательные знаки, то можно писать, например, вместо выражения .

Определение 2. Сумма первых п членов числового ряда называется n -ой частичной суммой ряда и обозначается S_n = а ₁+ а ₂+ а ₃+ … + a_n.

По определению имеем S ₁= a ₁, S ₂= a ₁+ a ₂, S ₃= a ₁+ a ₂+ a ₃ и т.д.. Возникает новая числовая последовательность (S_n).

Определение 3. Если последовательность (S_n) частичных сумм числового ряда сходится к некоторому числу S Î R, то этот числовой ряд называется сходящимся.

Определение 4. Если числовой ряд сходится, то число называется суммой числового ряда и пишут S =или S = a ₁+ a ₂+ a ₃+ … + а_n +....

Итак, символом будем обозначать и числовой ряд, и его сумму (если ряд сходится).

Подчеркнем, что S не есть "сумма всех членов ряда", а является пределом последовательности его частичных сумм, т.е. .

Определение 5. Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность (S_n) его частичных сумм расходится.

Определение 6. Суммой двух числовых рядов и называется числовой ряд .

Теорема 1. Если числовые ряды и сходятся и имеют суммы A и B, то числовой ряд также сходится и имеет сумму A + B.

Определение 7. Произведением числового ряда на число k Î R называется числовой ряд .

Теорема 2. Если числовой ряд сходится и имеет сумму A, то числовой ряд также сходится для любого k Î R и имеет сумму k×A.

Для исследования числовых рядов на сходимость имеется ряд признаков. Далее рассмотрим некоторые из них.

Теорема 3. (необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится, то .

Доказательство. Ряд сходится, т.е. существует предел . Заметим, что .

Рассмотрим . Тогда . Отсюда, .

Следствие 1. Если не выполнено условие , то ряд расходится.

Замечание 1. Условие не является достаточным для сходимости числового ряда . Например, гармонический ряд расходится, хотя и имеет место .

Определение 8. Числовой ряд a_{n +1}+ a_{n +2}+…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n- м остатком данного ряда и обозначается R_n.

Теорема 4. Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток. Обратно: если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом, для любого n ÎN выполняется равенство S = S_n + R_n.

Следствие 2. Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3. .

нов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C.

2. Признаки сравнения и признак Даламбера

сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и - ряды с неотрицательными членами, причем для каждого п ÎN выполнено условие а_n £ b_n. Тогда:

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1. Теорема верна, если условие а_n £ b_n выполняется с некоторого номера N Î N.

Теорема 2 (признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и - ряды с неотрицательными членами и существует . Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно.

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть - ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q <1 и расходится при q >1.

Доказательство. Пусть q <1. Зафиксируем число р такое, что q < p < 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера N Î N выполняется неравенство a_{n +1} / a_n < p, т.е. a_{n +1}< p×a_n. Тогда a_{N +1}< p×a_N, a_{N +2}< p²×a_N. По индукции легко показать, что для любого k Î N верно неравенство, a_N+k < p^k×a_N. Но ряд сходится как геометрический ряд (p <1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).

Пусть q >1. Тогда с некоторого номера N Î N верно неравенство a_{n +1}/ a_n >1, т.е. a_{n +1}> a_n. Следовательно, с номера N последовательность (a_n) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию2.1, вытекает расходимость ряда при q >1.

Дата добавления: 2014-01-07