Геометрическая интерпретация этих теорем

Теорема Ролля и Лагранжа (без доказательства).

Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции

1. ,	2. ,
3. ,	4. ,
5. ,	6. ,
7. ,	8. ,
9. ,	10. ,
11.	12.
13. ,	14. .

Выведем, например, формулу 5:

.

Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке x ₀ , а функция g дифференцируема в точке f (x ₀), то композиция этих функций дифференцируема в точке x ₀ , причем .

Тема 6. Приложения производной

Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной точки, так и на промежутках области ее определения).

Теорема Ролля. Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) .

Тогда существует такая точка , что .

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри его и принимает на концах отрезка равные значения, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна оси Ox.

Теорема Лагранжа. Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

Тогда существует такая точка , что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки и .

Замечание. Формулу Лагранжа часто записывают в виде

и говорят, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению приращения аргумента на значение производной в некоторой промежуточной точке.

Порядок точек b и a несущественен: если , то , следовательно, .

Определение 1. Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность точки , содержащаяся в E.

Определение 2. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множеству E, так и не принадлежащие ему.

Ясно, что точка является граничной точкой множества в том и только в том случае, если она является одновременно точкой прикосновения для множества E и его дополнения .

Теорема 2 (условие постоянства функции). Пусть функция f:

1) определена и непрерывна на промежутке I;

2) во всех внутренних точках промежутка I имеет производную, равную 0.

Тогда функция f постоянна на промежутке I.

Доказательство. Зафиксируем точку . Пусть . Применим к функции f на отрезке с концами x ₀ и x теорему Лагранжа: , где c - между x ₀ и x. По условию теоремы, , следовательно, для всех , т.е. функция f постоянна на I.

Дата добавления: 2014-01-07