Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать)

Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится применение производной.

Определение 1. Функция f называется возрастающей на промежутке X, если для любых и из множества X таких, что , выполнено неравенство .

Определение 2. Функция f называется убывающей на промежутке X, если для любых и из множества X таких, что , выполнено неравенство .

Теорема 1. (условие возрастания функции). Пусть функция :

1) определена и непрерывна на промежутке X;

2) во всех внутренних точках промежутка X производная .

Тогда функция f возрастает на промежутке X.

Доказательство. Пусть , . Применим к функции f на отрезке теорему Лагранжа, согласно которой существует такая точка , что . Точка c есть внутренняя точка промежутка X; следовательно, . Тогда . Этим доказано возрастание f на промежутке X.

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2. (условие убывания функции). Пусть функция :

1) определена и непрерывна на промежутке X;

2) во всех внутренних точках промежутка X производная .

Тогда функция f убывает на промежутке X.

Дата добавления: 2014-01-07