Достаточные признаки существования экстремума. (доказать одну из теорем)

(доказать одну из теорем)

Определение 1. Точки, в которых производная функции f равна нулю или не существует, называются критическими точками функции f.

Следует иметь в виду, что не всякая критическая точка функции является точкой экстремума. Например, функции и возрастают на R, но имеют критическую точку .

Следующие теоремы позволяют выделять среди критических точек функции точки экстремума.

Теорема 1. (достаточное условие максимума). Пусть функция :

1) непрерывна в точке ;

2) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ;

3) на интервале ; на интервале .

Тогда точка есть точка максимума функции f.

Доказательство. Пусть . Применим к функции f на отрезке с концами x и теорему Лагранжа, согласно которой существует такая точка c между x и , что .

В любом случае . Если , то и, следовательно, . Если же , то и . Итак, , т.е. для всех . Это и означает, что - точка максимума функции f.

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2. (достаточное условие минимума). Пусть функция :

1) непрерывна в точке ;

2) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ;

3) на интервале ; на интервале .

Тогда точка есть точка минимума функции f.

Отметим еще одно достаточное условие экстремума функции.

Теорема 3. Пусть и в точке существует . Тогда:

1) если , то - точка минимума функции f;

2) если , то - точка максимума функции f.

Дата добавления: 2014-01-07