Построение моделей

Пусть в процессе эксплуатации системы фиксировались отказы в механизме устройства ввода информации, значения интервалов между отказами (в часах) приведены в табл. 6.1. Общее число измерений N= 100.

Для построения гистограммы разобьем весь интервал от минимального значения, рав­ного 0,81, до максимального, равного, на k интервалов. Для определения значения k воспользуемся часто применяемой в математической статистике формулой Старгесса:

. (6.7)

Значение разряда гистограммы` X равно, таким образом, 72,5 ч. Числа попаданий в интервал N_i значения частоты P_i^* приведены в табл. 6.2 с учетом того, чтоб в интервал [435; 507,5] не попало ни одного измерения.

Проверка статистических гипотез. Выдвинутое предположение об экспоненциальном распределении случайной величины - это всего лишь гипотеза, и она должна быть под­тверждена. При проверке гипотезы должен быть получен ответ на основной вопрос: расхождения между эмпирическими (полученными в ходе обработки выборки) и теорети­ческими значениями функции распределения вероятностей объясняются только конеч­ным объемом выборки или причина в том, что произведена выборка из генеральной совокупности, подчиняющейся другому закону распределения?

Проверка гипотез выполняется с помощью специальных критериев согласия, слу­жащих мерой расхождения эмпирического и теоретического распределений. Напри­мер, можно вычислить значение так называемого х ² - критерия:

. (6.8)

Оказывается что если R <3, то согласие между эмпирическим и теоретическим распре­делениями можно считать удовлетворительным (гипотеза о теоретическом распределе­нии при этом принимается). Заметим, что выбирать разряды, гистограммы нужно так, чтобы число попаданий в интервал было не менее 5, в противном случае зна­ние X ² - будет завышено. Если по результатам выборки получается, что N_i для i- ro раз­ряда меньше 5, следует объединить соседние разряды.

Если обратиться к рассмотренному примеру по статистическому анализу наработки на отказ, то получим следующие значения критерия согласия: = 3,176; R = 0,815, число степеней свободы k=5. По таблицам X ² распределения находим, что при k= 5; P= 0,7; X ²=3,00, а при P =0,5; X ²=4,31. Отсюда следует, что вероятность справедливости гипотезы об экспоненциальном распределении (доверительная вероятность) не менее 0,68.

На практике гипотеза может приниматься, если P не менее 0,1, так что в рассматри­ваемом примере согласие между экспериментальным и теоретическим распределениями удовлетворительное. Тот же вывод можно сделать и при применении критерия Рома­новского (его значение в рассматриваемом случае меньше 3), где P_i - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i -й разряд гис­тограммы для предполагаемого теоретического распределения.

Очевидно, что в силу случайного характера величин N_i (принимающих различные значения при различных выборках одного и того же объема N, не говоря уже о выбор­ках с различным числом испытаний) X ² будут также случайными величинами.

Плотность распределения этой случайной величины имеет вид:

, (6.9)

где Г (r /2) - гамма-функция от аргумента r /2; r - число независимых случайных вели­чин, число степеней свободы случайной величины X ², для которых вычисляется сумма квадратов, причем предполагается, что суммируемые случайные величи­ны имеют нормальное распределение N (0,1).

Так как распределение случайной величины X ² известно, то, получив в результате рас­чета ее значение, можно определить, с какой вероятностью для заданного r случайной величины превзойдет ее значение. Эта вероятность характеризует справедливость гипотезы о том, что исследуемая случайная величина подчиняется данному закону распределения.

Распределение X ² табулировано для различных значений r, что упрощает процедуру проверки гипотез. Нужно только знать, чему равно Г. Как было отмечено ранее, это число независимых суммируемых случайных величин. В данном случае на частоты попа­дания в интервал наложено ограничение - их сумма равна 1. Кроме того, по результатам выборки определяют и сами параметры теоретического распределения, так как они за­ранее неизвестны. Отсюда следует, что при проверке гипотез r равно k, уменьшенному на 1 и на число параметров распределения, вычисляемых по выборке.

Процедура проверки гипотез может быть упрощена, если используется так называе­мый критерий согласия Романовского, вычисляемый по формуле:

, (6.10)

где - расчетное значение X ² критерия.

Таблица 6.1

Дата добавления: 2014-01-07