Сплайны

В сопромате описывается однородный брус, закрепленный в двух точках с приданием ему наклона в этих точках, т.е. заданных в них касательных. Напомню –касательная к кривой – это фактически первая производная. Кроме того задается непрерывность кривизны, а это вторая производная.

Зададим в параметрической форме сплайн кубической параболой, проходящей через две точки Р(0) и Р(1).

(1)

в точках 0 и 1 известны касательные, а значит первые производные:

и

отсюда есть условия для определения четырех коэффициентов

(2)

Из выражений (2) следует

Отсюда можно вывести:

(3)

Определив кубическую параболу (рис.) между точками Р(0) и Р(1), для нахождения следующей дуги кривой между точками Р' (0) и Р' (1) необ­
ходимо в точках Р' (0) и Р(1) приравнять значения самой кривой и ее пер­вых производных и задать значение вектора —. Таким образом, шаг за за шагом определяется последовательность дуг кубической кривой, соеди­няющей точки Р, Р',..., Рп и имеющей непрерывные касательные в этих точках.

Хотя теоретически оба метода эквивалентны друг другу, тем не менее следует согласиться с тем, что управлять формой кривой проще, задавая значения первых производных на ее концах, а не значения второй произ­водной в начальной точке.

Дата добавления: 2014-01-07